Matemática elementar/Expressões algébricas

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Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

Produtos notáveis[editar | editar código-fonte]

Quadrado da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \,\!.

Exemplos:

  • (8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,\!
  • \left( \frac{4x}{5y}-z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2

Quadrado da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \,\!  

Exemplos:

  • (1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,\!
  • \left( \frac{3x}{4y}-n \right )^2=\frac{9x^2}{16y^2}-\frac{6xn}{4y}+n^2

Cubo da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \,\!

Exemplos:

  • (m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3 \,\!
  • (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \,\!

Cubo da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \,\! 

Exemplos:

  • (b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3 \,\!
  • \left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fatoração algébrica[editar | editar código-fonte]

Fatoração pelo fator comum em evidência[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio 14ab+7bc, seu fator comum em evidência é 7b, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 14ab:7b=2a e 7bc:7b=c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de 14ab+7bc=7b.(2a+c). O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

  • 15x+9y=3.(5x+3y)
  • 50-10y=10.(5-y)

Fatoração por agrupamento[editar | editar código-fonte]

Observe o polinômio ab-b^2+2a-2b. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b), logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

ab-b^2=b(a-b)

2a-2b=2(a-b), obtemos a fatoração de ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b), nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: (a-b)(b+2). A forma fatorada de ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2).

Outro exemplo:

a^4-a^5+a^2b-a^3b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)

Fatoração da diferença de dois quadrados[editar | editar código-fonte]

x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! 

Considere o polinômio m^2-n^2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo \sqrt{m^2}=m menos a raiz quadrada do segundo termo -\sqrt{n^2}=-n, logo temos \sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: (m-n).(m+n), logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n), ou simplesmente m^2-n^2=(m-n).(m+n).

Outros exemplos:

  • (n+8)^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]
  • a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio 4x^2+4xy+y^2, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa (2x+y)^2, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio 4x^2+4xy+y^2, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo \sqrt{4x^2}=2x e a raiz quadrada do terceiro termo \sqrt{y^2}=y, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (4xy): 2.2x.y=4xy, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é 4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2.

Outro exemplo:

x^2-8xy+16y^2=\sqrt{x^2}-\sqrt{16y^2}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^2 ou x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos[editar | editar código-fonte]

As expressões usadas são:

x^3+y^3 = (x+y) . (x^2-xy+y^2) \,\!
x^3-y^3 = (x-y) . (x^2+xy+y^2) \,\!

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

(a+b).(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3, tendo este cálculo como base, podemos dizer que a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2), logo, a fatoração do polinômio a^3+b^3 é igual à raiz cúbica do primeiro termo \sqrt[3]{a^3}=a, mais a raiz cúbica do segundo termo \sqrt[3]{b^3}=b vezes o quadrado do primeiro termo a^2, o produto dos dois termos com o sinal oposto -ab mais o quadrado do segundo termo b^2, formando:a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2).

Outros exemplos:

  • x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)
  • \frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right )

Fatoração do trinômio do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Observe o trinômio x^2-2x-35, cuja forma fatorada é (x-7).(x+5), para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

  • a^2+8a+12=(a+2).(a+6)
  • x^2-15x-100=(x-20).(x+5)
  • y^2+y-72= (y+9)(y-8)

Fatoração completa[editar | editar código-fonte]

A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x^4-y^4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2), note que o primeiro termo da fatoração [(x^2-y^2)] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)=(x-y).(x+y).(x^2+y^2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x^4-y^4.

Outros exemplos:

  • \frac{x^6}{64}-\frac{y^6}{729}=\left (\frac{x^3}{8}-\frac{y^3}{27} \right ).\left (\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27} \right )=\left [\left (\frac{x}{2}-\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ].\left [\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ]
  • 3x^2-6x+3=3.(x^2-2x+1)=3.(x-1)^2
  • a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2 - c^2 = (a+b-c)(a+b+c)

Fatoração por artifício[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: x^4+4x^2 y^2+16y^4.

(x^4+4x^2 y^2+16y^4 +4x^2 y^2)-4x^2 y^2=

x^4+8x^2 y^2 +16y^4 -4x^2 y^2 =(x^2+4y^2)^2-4x^2 y^2=(x^2+4y^2+2xy)(x^2+4y^2-2xy)

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo 4x^2 y^2, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

x^5 + x + 1\,

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se x^2\,, obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1 = x^2 (x^3 - 1) + x^2 + x + 1 = x^2 (x - 1) (x^2 + x + 1) + 1 (x^2 + x + 1) = (x^2 (x - 1) + 1)(x^2 + x + 1) = (x^3 - x^2 + 1)(x^2 + x + 1)\,

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:

x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy \,\!

Polinômios irredutíveis[editar | editar código-fonte]

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Problemas resolvidos[editar | editar código-fonte]

Caso 1[editar | editar código-fonte]

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

  • Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
  • Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

Caso 2[editar | editar código-fonte]

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

  • ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
  • Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Caso 3[editar | editar código-fonte]

Diferença entre dois quadrados.

Caso 4[editar | editar código-fonte]

Trinômio quadrado perfeito.

Caso 5[editar | editar código-fonte]

Soma e produto

Caso 6[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fração algébrica[editar | editar código-fonte]

Simplificação[editar | editar código-fonte]

15x²-15xy²=15x(x-y²)

Operações[editar | editar código-fonte]

Adição[editar | editar código-fonte]

Subtração[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Divisão[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Fatoração de um polinômio
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Produtos notáveis


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