Matemática elementar/Equações irracionais

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Uma equação irracional é uma equação onde existem polinômios e raízes.

Por exemplo:

\sqrt{x + 1} + 1 = x\,

Uma definição mais precisa seria: uma equação algébrica irracional é uma equação onde existem funções racionais e inversas de funções polinomiais.

Solução[editar | editar código-fonte]

Um dos métodos de solução é isolar, em um dos membros da equação, os termos que incluem raízes, e elevar ambos os membros a uma mesma potência que elimine a raiz. No entanto, este procedimento não produz uma equação equivalente a original, mas sim uma equação que possui entre as suas soluções os valores que resolvem a equação inicial.

Por exemplo, quando se tem a igualdade entre uma certa expressão x e outra expressão y, pode-se concluir que x^2 = y^2. Por outro lado, é perfeitamente possível que duas expressões tenham os quadrados iguais, sem que elas próprias sejam iguais. Este é o caso, por exemplo, quando se tem (-x)^2 = x^2\,, pois para a maioria dos números, -x \not = x (a igualdade só vale para x=0). Assim, se durante a resolução ambos os membros forem elevados a uma certa potência, será necessário chegar se os valores obtidos como solução para a nova equação são também soluções da equação inicial.

Acompanhe o próximo exemplo:

\sqrt{x + 1} + 1 = x\,

Isolando a raiz, elevando ao quadrado e resolvendo:

\sqrt{x + 1} = x - 1\,
x + 1 = x^2 - 2 x + 1\,
-x^2 + 3 x = 0\,

Esta equação do segundo grau possui duas soluções, a saber: 0 e 3. Isto não significa que ambos estes números sejam soluções da equação original, pois com os cálculos realizados até agora só é possível dizer que "se x for uma solução para a equação original, então x tem que ser igual a 0 ou igual a 3".

Resta então saber se algum destes números verifica a equação proposta:

\sqrt{\mathbf{3} + 1} + 1 = 2 + 1 = \mathbf{3}, logo 3 também é uma solução da primeira equação.
\sqrt{\mathbf{0} + 1} + 1 = 1 + 1 = 2 \not = \mathbf{0}, logo 0 não é uma solução da equação inicial.

Portanto, a única raiz é "x = 3".

Exercícios[editar | editar código-fonte]


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