Matemática elementar/Equações algébricas

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[editar] Definição

Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.

Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efectuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra

[editar] Raiz

Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinómios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinómios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.

[editar] Multiplicidade de raízes

[editar] Número de raízes de uma equação

Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

[editar] Exemplo

Um exemplo de como completar quadrado:

Temos a seguinte equação: (x+2)^2= x^2+4x+4 \,\!

Agora imagine a equação:

x^2 + 8x -5=0 \,\!

Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.

x^2+8x=5 \,\!

Perceba que (x+4)^2=x^2+8x+16 \,\!

(x+4)^2 -16=5 \,\!

(x+4)^2=21 \,\!

Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de

(x+4)\,\!,

é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.

[editar] Casos particulares

[editar] Equação do 1º grau com 1 incógnita

[editar] Sistemas do 1º grau

[editar] Problemas do 1º grau

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4\,\!. Assim:

c + a = 22\,\!

c + (c - 4) = 22\,\!

2c - 4 = 22\,\!

2c - 4 + 4 = 22 + 4\,\!

2c = 26\,\!

c = 13\,\!

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

[editar] Equação do 2º grau com 1 incógnita

Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.

[editar] Evolução

ax2 + bx + c = 0, donde

a \left( x^2+ \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} \right) = 0
  • a multiplica os termos:
a \left( x^2+ \frac{bx}{a}+ \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right) = 0
a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \right) \right] = 0
a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) \right] = 0
a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \right] = 0
  • aqui b2 − 4ac tornou-se Δ.
a \left[ \left( x+ \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0
  • aqui temos \left( \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \right) como X1 e \left( \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right) como X2.
a \left \{ x- x_1 \right \} \left[ x- x_2 \right] = 0
a \left( x- x_1 \right) \left( x- x_2 \right) = 0
  • então,
x = x1
x_1 = \left( \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \right)
x = x2
x_2 = \left( \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)
  • por fim, x1 e x2 (x) é representado pela seguinte fórmula:

x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

[editar] Exercícios

[editar] Sistemas do 2º grau

[editar] Problemas do 2º grau

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?

Solução
x = número de convidados
24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas
24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas
24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400
simplificando a equação:
dividindo os termos por 400
60/x + 1 = 60/(x-5)
mmc: entre x e x-5 = x.(x-5)
60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x
60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0
x²-5x-300 = 0
aplicando a fórmula de Bhaskara:
x' = 20, x" = -15(raizes negativas não servem)

Resposta: 20 pessoas foram convidadas...

[editar] Equação biquadrada

Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau impar:

ax^4+bx^2+c=0,\quad a\neq 0\,

A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:

y=x^2\,

Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:

ay^2+by+c=0,\quad a\neq 0\,

[editar] Exercícios

Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios


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[editar] Leitura complementar

  • Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
  • Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Fisica, 2006. ISBN 8588325616
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