Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais

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[editar] Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma $a/b\,\!,$ onde $b \,\!$ é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

$\frac{29}{8}:$ $3 (= \frac{3}{1} ):$ $-\frac{29}{8}:$ $3 \frac{5}{8}:$ $0 (= \frac{0}{x} )$

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

$\begin{matrix}{a \over b} & + & {c \over d} & = & {ad+bc \over bd} \\ {a \over b} & \cdot & {c \over d} & = & {ac \over bd} \end{matrix}$

Exemplo:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

$\mathbb{Q}$

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

[editar] Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como $\frac{a}{b},$ designa este número ${a} \,\!$ dividido em ${b} \,\!$ partes iguais. Neste caso, ${a} \,\!$ corresponde ao numerador, enquanto ${b} \,\!$ corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração $\frac{56}{8}$ designa o quociente de $56 \,\!$ por $8 \,\!.$ Ela é igual a $7 \,\!,$ pois $7 \,\!$ x $8 \,\!$ = $56 \,\!.$

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb Q.$

$\mathbb Q$ = { $x \,\!$ / $x \,\!$ = $\frac{a}{b},$ com $a \in \mathbb{Z}$ e $b \in \mathbb{Z}$ $\ne 0$ }

[editar] Decimais

[editar] Decimais exatos

$\frac{1}{2}$ = $0,5 \,\!$

$\frac{1}{5}$ = $0,2 \,\!$

[editar] Decimais periódicos

$\frac{5}{3}$ = $1,66... \,\!$ (a)

$\frac{7}{6}$ = $1,166... \,\!$ (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

[editar] Geratriz de dízima periódica

[editar] Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

$0,6666.. \,\! \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$1,6666... \,\! = 1\,\! + 0,6\,\! \Rightarrow 1\,\! + \frac{6}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

[editar] Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

$1,166... \,\!$ => $1 \,\!$ + $0,166... \,\!$ = $1 \,\!$ + $\frac{15}{90}$ = $\frac{105}{90}$ = $\frac{7}{6}$

[editar] Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = $\,\!\begin{matrix}\frac{21}{9}\end{matrix}$

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = $\,\!\begin{matrix}\frac{3804014}{99900}\end{matrix}$ , que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, $\,\!\begin{matrix}\frac{3807821 - 3807}{99900}\end{matrix}$ .

[editar] Tipos de frações

própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$
imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: $\frac{7}{3}$
mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2 \frac{1}{3}$
aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: $\frac{12}{4}$
equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$
unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$
egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}$

decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: $\frac{437}{100}$
composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$
contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a 0, a 1, a 2, a 3,..., a k,...)$ da seguinte maneira $a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}.$ Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

[editar] Operações

[editar] Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

${3 \over 5} \times {2 \over 7} = \frac{{3} \times {2}}{{5} \times {7}} = {6 \over 35}$

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

$3 \times {1 \over 4} = {3 \over 1} \times {1 \over 4} = {3 \over 4}$

[editar] Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

$\frac{3}{5}$ ÷ $\frac{7}{2}$

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

${\frac{3}{5}}\times{\frac{2}{7}} = {6 \over 35}$

Que se resolve como mostrado acima.

[editar] Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

${\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}$

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

${15 \over {3}} = {5}$ ∴ $5 \times {2} = {10}:$ ${15 \over {5}} = {3}$ ∴ $3 \times {3} = {9}$

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

${\frac{10+9}{15}}$

O denominador comum é mantido:

${\frac{19}{15}}$

[editar] Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

[editar] Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

${\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25$

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

${\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25$

[editar] Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

[editar] Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

$8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8}^2 = \sqrt[3]{64} = {4}$

[editar] Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

$\frac{8}{4}$

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

${{\frac{8:4}{4:4}}} = {{2} \over {1}}$

[editar] Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

$\frac{2}{5}$ ? $\frac{3}{7}$

O MMC entre 5 e 7 é 35.

${35 \over {5}} = {7}$ ∴ $7 \times {2} = {14}:$ ${35 \over {7}} = {5}$ ∴ $5 \times {3} = {15}$

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

${\frac{14}{35}}$ < ${\frac{15}{35}}$ ∴ ${\frac{2}{5}}$ < ${\frac{3}{7}}$

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

$\frac{14}{35} = \frac{2}{5}$ e $\frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

[editar] Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

$\frac{7}{3}$

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

$2 \frac{1}{3}$

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

[editar] Referências

[editar] Wikipédia