Matemática divertida/Fractais e o infinitamente pequeno

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Índice

1 Aumentando Infinitamente e Diminuindo Infinitamente
2 O Paradoxo de Zenão
3 Fractais
- 3.1 Belas imagens de fractais
4 Para saber mais...

[editar] Aumentando Infinitamente e Diminuindo Infinitamente

Como você, leitor, deve saber, por maior que seja uma grandeza matemática, sempre podemos aumentá-la.

“1000” parece um número muito grande? Talvez, mas 1001 é maior que 1000. Assim como 1002 é maior que 1001. E 1003 é maior que 1002. E assim até o infinito.

O mesmo ocorre na geometria. Temos aqui um triângulo:

Podemos dobrar seu tamanho:

E dobrar mais uma vez:

E mais uma vez:

E dobrá-lo infinitas vezes.

Contudo, poderíamos fazer o contrário. Pegar o triângulo em seu tamanho original:

Diminuí-lo pela metade:

E diminuí-lo pela metade mais uma vez:

E mais uma vez:

E podemos diminuí-lo pela metade infinitas vezes.

Ou seja, na matemática, podemos aumentar e diminuir tudo infinitas vezes. Nesta página veremos conseqüencias interessantíssimas disto.

[editar] O Paradoxo de Zenão

Zenão foi um pensador grego da antigüidade que trabalhou muito sobre a questão do infinitamente pequeno, formulando vários paradoxos sobre o assunto.

Paradoxos são situações impossíveis, que dão um nó na nossa cabeça. Vamos representar um dos paradoxos de Zenão nos seguintes termos:

Temos à direita um monte de cenouras, e à esquerda, um coelho faminto. Para chegar às cenouras, o coelho precisa percorrer todo caminho marcado pela linha preta.

Mas antes de percorrer todo caminho, o coelho deverá percorrer metade do caminho:

Mas antes de percorrer metade do caminho, o coelho deverá percorrer metade da metade do caminho:

Mas antes de percorrer metade da metade do caminho, o coelho deverá percorrer metade da metade da metade do caminho:

Ou seja, o coelho deverá percorrer infinitos trajetos até chegar às cenouras. Será que assim ele nunca chegaria às cenouras?

É claro que o coelho uma hora chega às cenouras. Mas para os matemáticos desenvolverem um método para lidar com o infinitamente pequeno, demorou muito tempo. Só no século XVII, dois milênios depois de Zenão ter formulado seus paradoxos, que Newton e Leibniz apareceram com o Cálculo Infinitesimal. Com este, é possível somar infinitas grandezas que diminuem progressivamente.

[editar] Fractais

Lidar com o infinitamente pequeno possibilitou vários avanços na Matemática. Entre estes, uma nova forma de geometria: a Geometria Fractal.

Fractais são figuras nas quais cada pedacinho é semelhante à toda figura.

Por exemplo, eis o Fractal de Mandelbrot:

Vamos ampliar 6 vezes a área marcada pelo retângulo branco:

E agora vamos ampliar 100 vezes:

E agora, 2000 vezes:

Poderíamos ampliar ainda mais, o quanto quisermos, e sempre encontraremos um pedacinho semelhante ao todo.

Construir um fractal é algo que leva infinitos passos. Vejamos, por exemplo, como construir o fractal Floco-de-Neve Koch:

Começamos com um triângulo equilátero:

Sobrepomos a este triângulo, um outro triângulo equilátero, de mesma área, desta forma:

Obtemos uma estrela de 6 pontas. Cada uma destas pontas é um novo triângulo equilátero. Faremos com cada um deles o que fizemos com o triângulo original:

Você provavelmente já inferiu os próximos passos:

E mesmo se procedermos ao infinito, a figura terá uma área finita. Afinal, a soma de uma infinidade de grandezas progressivamente menores resulta numa grandeza finita.