Matemática elementar/Funções

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Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

$f : A \rightarrow B : x \mapsto f(x)$ , ou mais simplificadamente, $f : A \rightarrow B$

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

f (x, y) = x + y

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:


Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d).	Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

Duas funções f(x) e g(x) são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

$\forall x \in D, f(x) = g(x) \to g = f$

[editar] Introdução

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

Gráfico salário X vendas

Vendas	Comissão por venda	Valor Fixo	Salário
0	55	300	300
1	55	300	355
2	55	300	410
...	...	...	...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

$S=55\cdot V+300\,\!$

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

O salário depende das vendas.
O salário é uma função das vendas.

[editar] Definição

Ao aplicar uma função $f\,\!$ em um dado conjunto $D\,\!$ , cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto $C\,\!$ .

Ao conjunto $D\,\!$ denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto $C\,\!$ denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de $D\,\!$ .

Ou seja:

Dados dois conjuntos $D\,\!$ e $C\,\!$ não vazios, dizemos que a relação f de $D\,\!$ em $C\,\!$ será função se, e somente se,

$\forall x \in D \; \exists \; y \in C \; | \; \left( x,y \right) \in f$ .

(Para qualquer x pertencente a A existe um y pertencente a B tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)

Obs: Para cada $x\,\!$ , deve haver apenas um $y\,\!$

[editar] Representações

Existem várias maneiras de se representar funções.

Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.

As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.

$f:A \rightarrow B \,\!$

$x \rightarrow y = f(x) \,\!$

$\begin{matrix} & f& \\A&\rightarrow&B \end{matrix}\,\!$

Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:

$f(x) = ax + b ,\!$

$g(x) = ax^2 + bx + c \,\!$

[editar] Condições de existência

As condições básicas de existência são:

Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
1. Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
2. Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).

Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

[editar] Nomenclaturas

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

[editar] Domínio, Contradomínio e Imagem

Domínio: Conjunto ao qual será aplicada a função.
Contra-Domínio: Conjunto que contém os elementos que farão o papel de imagem dos elementos do domínio.
Imagem: Subconjunto do contra-domínio. Contém apenas os elementos que são realmente imagens das abscissas.

[editar] Gráfico Cartesiano

Abscissa: Todo e qualquer elemento do domínio.
Ordenada: Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.
Gráfico em Plano Cartesiano da função: Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

[editar] Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras

Tomemos dois conjuntos $X\!\,$ e $Y\!\,$ . Digamos que o primeiro seja um conjunto de mulheres e o segundo é de homens. Então estabelecemos a relação "é casada com" de $X\!\,$ para $Y\!\,$ .

Se houver ao menos uma mulher no conjunto $X\!\,$ que não seja casada com um homem do conjunto $Y\!\,$ , então esta relação nem consiste em uma função.

Se houver ao menos uma mulher no conjunto $X\!\,$ casada com mais de um homem do conjunto $Y\!\,$ , então esta relação também não consiste em uma função.

Se toda mulher de $X\!\,$ for casada com apenas um homem de $Y\!\,$ , então a função é injetora, independentemente de haver ou não algum homem em $Y\!\,$ que não seja casado com alguma mulher de $X\!\,$ .

Se não há um homem de $Y\!\,$ que não é casado com uma mulher de $X\!\,$ (ou seja, a imagem é igual ao contra-domínio), então a função é sobrejetora, independentemente de duas mulheres de $X\!\,$ serem casadas com o mesmo homem de $Y\!\,$ .

No caso em que a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, cada mulher de $X\!\,$ é casada com um único homem de $Y\!\,$ , e cada homem de $Y\!\,$ é casado com uma única mulher de $X\!\,$ , então a função é bijetora.

Função Injetora e não sobrejetora

Função Sobrejetora e não injetora

Função Bijetora

Resumindo:
- Função Injetora é aquela na qual cada elemento do domínio corresponde a um único do contra-domínio.
- Função sobrejetora é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
- Função bijetora é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.

[editar] Exemplos

Funções bijetoras
- Funções do primeiro grau são bijetoras.

Funções estritamente sobrejetoras

Funções estritamente injetoras

[editar] Funções Pares e Ímpares

Uma função $f$ é denominada par quando $f (x) = f ( - x)$ , para todo $x \in \operatorname{Dom}(f)$ (domínio de f).
Uma função $f$ é denominada ímpar quando $f (x) = - f ( - x)$ , para todo $x \in \operatorname{Dom}(f)$ .

[editar] Domínio, contradomínio e imagem

Função x², definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.

O domínio, já especificado, é

D = {1,2,3,4,5}

O contradomínio é

C D = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

A imagem é

I m = {a, e, i, o, u}

[editar] Propriedades das funções

[editar] Continuidade

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, $[a, b]$ , se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:

$y = \sqrt{x}$ , definida para o contradomínio $y \in \mathbb{R}$ , não é contínua no intervalo $]-\infty,+\infty[$ , uma vez que não está definida para x < 0.

[editar] Crescimento e decrescimento

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), $f (x) < f (x + ε)$ .

[editar] Paridade

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo $x\!\,$ um elemento pertencente a um conjunto simétrico $A\!\,$ , uma função é dita:

par, se para todo $x\!\,$ , $f(x) = f(-x)\!\,$ ; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
ímpar, se para todo $x\!\,$ , $f(x) = -f(-x)\!\,$ ;
sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.


Exemplo de função par: -5x² + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo: f(2) = -5(2²) + 120 = -54 + 120 = 100, f(-2) = -5(-2²) + 120 = -54 + 120 = 100 f(2) = f(-2)	Exemplo de função ímpar: x³. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo: f(2) = 2³ = 8 f(-2) = -2³ = -8 f(2) = -f(-2)

[editar] Funções de primeiro e segundo grau

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita do primeiro grau quando pode ser expressa na forma:

$y = ax + b,\, a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}$

Função de primeiro grau, definida por

y = 6 x + 5

.

A função do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.

O valor da constante $a$ , na função $y = a x + b$ e que tem domínio igual a $R$ , é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Para o caso específico da constante $b$ ser igual a zero, a função $y = a x$ é chamada função linear.

Função do segundo grau:

y = x 2

.

Já a função do segundo grau toma a forma:

y = a x 2 + b x + c

$a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}$

Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

[editar] Operações sobre funções

[editar] Soma, produto e quociente

[editar] Composição de funções

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, $x$ e $y = f (x)$ . O objeto $x$ é chamado o argumento da função $f$ , e o objeto $y$ , que depende de $x$ , é chamado imagem de $x$ pela $f$ .

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento $x$ um único valor da função $f (x)$ . Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência.

Gráficos, Função par e função ímpar, Funções crescentes e funções decrescentes, Máximos e mínimos
Função módulo, funções lineares, funções afins e funções quadráticas, Equações e inequações envolvendo estas funções -
Composição e inversão de funções -
Funções exponenciais e funções logarítmicas - propriedades fundamentais, gráficos, equações e inequações envolvendo estas funções.
Polinômios -

[editar] Ligações

Função na Wikipédia.