Lógica/Lógicas Não-clássicas/Lógica Modal

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Índice

1 Introdução
- 1.1 Linguagem das lógicas modais:
2 Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima
- 2.1 Axiomas
- 2.2 Regras de Inferência
3 Outros Axiomas Importantes
4 Semântica de Krypke
- 4.1 Estrutura de Krypke
- 4.2 Modelo de Krypke

[editar] Introdução

Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

Modalidade	$\Box A$	$\Diamond A$
Necessidade	Necessário	Possível
Temporal	Sempre no futuro	Em algum lugar no futuro
Doxástico	Acredito que	É consistente com minhas crenças
Provabilidade	É demonstrável que	É consistente que
Deôntica	É obrigatório que	É permitido que

[editar] Linguagem das lógicas modais:

Alfabeto: Símbolos lógicos, $\Box, \Diamond$ e símbolos proposicionais ( $P$ ).
Linguágem: é menor conjunto que:
- $P \subseteq L_\Box$
- $A \in L_\Box$ então $\neg A \in L_\Box$
- $A, B \in L_\Box$ então $A \# B \in L_\Box$ com $\# \in \{\land, \lor, \rightarrow \}$
- $A \in L_\Box$ então $\Box A, \Diamond A \in L_\Box$

[editar] Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima

Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descreveondo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:

[editar] Axiomas

A0) Todas as tautologias clássicas
K) $\Box (p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)$

[editar] Regras de Inferência

Modus Ponens: $\frac{\vdash A \rightarrow B, \vdash A}{\vdash B}$
Necessitação: $\frac{\vdash A}{\vdash \Box A}$

Obs.: Para podermos derivar $\Box A$ temos que ter provado $A$ , não sempre verdade que $\vdash p \rightarrow \Box p$

[editar] Outros Axiomas Importantes

Como já mencionamos existem várias lógicas modais diferentes. Em geral os axiomas e as regras de derivação acima são comuns a todas elas (todas aslógicas modais normais). Citaremos alguns outros axiomas que definem outras lógicas modais: