Lógica/Princípio da Explosão, Lei de Dun Scot, Prefixação e as propriedades antiintuitivas da implicação

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[editar] Princípio da Explosão

Ex contradictione (sequitur) quodlibet
Existe uma tautologia bastante "estranha" - ou melhor, expressa uma perplexidade lógica - conhecida como princípio da explosão:\left (\alpha\land \neg \alpha\right )\to \beta


\mathbf{F}\quad\left (\alpha\land \neg \alpha\right )\to \beta\quad \mathbf{ok}
\mathbf{V}\quad\left (\alpha\land \neg \alpha\right )\quad \mathbf{ok}
\mathbf{F}\quad\beta
\mathbf{V}\quad\alpha
\mathbf{V}\quad\neg\alpha\quad \mathbf{ok}
\mathbf{F}\quad\alpha
\times


α β ¬α α∧¬α (α∧¬α)→β
V V F F V
V F F F V
F V V F V
F F V F V


Isto pode nos deixar mais perplexos se vermos que é válido o seguinte argumento:
\left \{A , \neg A\right \}\vDash B
ou
A\land \neg A\vDash B


Veja que eles são válidos:


\mathbf{V}\quad A\land \neg A\quad \mathbf{ok}
\mathbf{F}\quad B
\mathbf{V}\quad A
\mathbf{V}\quad\neg A\quad \mathbf{ok}
\mathbf{F}\quad A
\times


Existem duas coisas muito estranhas neste argumento:
1º) A presença de uma contradição ou fórmulas contraditórias entre si como premissas.
2º) A ocorrência de um termo na conclusão que não aparece nas premissas.
Quer dizer, temos que aceitar como válido, segundo os princípios do CPC, o seguinte argumento:
Eu existo.
Eu não existo.
Logo, o céu é azul.
Muitos devem ter indagado:
- Oras! A definição de validade lógica de um argumento é que ele é válido se, e somente se, caso as premissas sejam verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira. Mas neste caso as premissas nunca são (ambas) verdadeiras. Como ele pode ser válido?
O fato é que "num argumento logicamente válido, sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira" é equivalente a "num argumento logicamente válido, nunca as premissas serão verdadeiras enquanto a conclusão é falsa".
E como está evidente na tabela seguinte, neste argumento, as premissas nunca são (ambas) verdadeiras enquanto a conclusão é falsa:


α β ¬α α∧¬α
V V F F
V F F F
F V V F
F F V F
Pode parecer um argumento inútil. Afinal, quem argumentaria com premissas cuja falsidade é evidente pela própria estrutura? Mas ele expressa algo muito interessante: pela lógica clássica, sistemas que aceitam contradição devem aceitar qualquer teorema. Em outras palavras: inconsistência implica em trivialidade.
Isto não ocorre nas lógicas paraconsistentes (ver: Lógicas não-clássicas).

[editar] Lei de Dun Scot

Ex falso quodlibet
Mais uma tautologia "estranha": \neg \alpha\to \left (\alpha\to \beta\right )


\mathbf{F}\quad\neg \alpha\to \left (\alpha\to \beta\right)\quad \mathbf{ok}
\mathbf{F}\quad\neg\alpha\quad \mathbf{ok}
\mathbf{F}\quad\alpha\to \beta\quad \mathbf{ok}
\mathbf{F}\quad\alpha
\mathbf{V}\quad\beta
\mathbf{V}\quad\alpha
\times
Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é falso, então α implica em qualquer coisa". O que, assim como o Princípio da Explosão, é decorrência do fato que se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira, seja o conseqüente falso ou verdadeiro.

[editar] Prefixação

Mais uma tautologia envolvendo a implicação que pode nos deixar perplexos: \alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )
\mathbf{F}\quad\alpha\to \left (\beta\to \alpha\right )\quad \mathbf{ok}
\mathbf{V}\quad\alpha \,\!
\mathbf{F}\quad\beta\to \alpha\quad \mathbf{ok}
\mathbf{V}\quad\beta \,\!
\mathbf{F}\quad\alpha \,\!
\times
Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é verdadeiro, então qualquer coisa implica em α". O que é decorrência do fato que uma implicação é verdadeira se o conseqüente for verdadeiro

[editar] Propriedades antiintuitivas da Implicação

A função de verdade da implicação pode ser expressa assim:
\neg \left(\alpha\land \neg \beta\right)
Ou seja: É falso que \alpha \,\! seja verdadeiro e \beta \,\! seja falso.
Basta fazer a tabela de verdade para verificar que \neg \left(\alpha\land \neg \beta\right) é equivalente a \alpha\to \beta :
A B ¬B A∧¬B ¬(¬A∧B) A→B
V V F F V V
V F V V F F
F V F F V V
F F V F V V


A função de verdade da implicação expressa justamente: “Se o antecedente é verdadeiro, o conseqüente também é verdadeiro”. O que só é falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente não.
Repare a semelhança disto com a definição de argumento logicamente válido: “um argumento é logicamente válido se sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira". É devido a isto que, se uma fórmula formada por uma implicação é válida, então um argumento onde o antecedente desta fórmula seja a premissa e o conseqüente da mesma seja a conclusão é logicamente válido. Isto consiste no teorema da dedução: se \vDash \alpha\to \beta, então \alpha\vDash \beta, e se \vdash \alpha\to \beta, então \alpha\vdash \beta Ex:
\vDash \alpha \to \alpha
\alpha \vDash \alpha
\vDash \alpha \to \neg \neg \alpha
\alpha \vDash \neg \neg \alpha
\vDash \neg \neg \alpha \to \alpha
\neg \neg \alpha \vDash \alpha
\vDash \left (\alpha\land \left (\alpha\to \beta\right )\right )\to \beta
\alpha\ , \alpha\to \beta\vDash \beta
\vDash \left (\neg \beta\land \left (\alpha\to \beta\right )\right )\to \neg \alpha
\neg \beta\ , \alpha\to \beta\vDash \neg \alpha
etc.
Lembrando que na lógica clássica:
\Gamma \vdash \alpha se e somente se \Gamma \vDash \alpha
\vdash \alpha se e somente se \vDash \alpha
Digamos que para sumir com a propriedade antiintuitiva em questão - se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira – venhamos a redefinir a implicação de forma tal que quando o antecedente é falso, o valor da fórmula é “indeterminado”:
A B A→B
V V V
V F F
F V I
F F I
Neste caso, temos uma lógica não-clássica trivalente, na qual não vale o princípio de bivalência nem o do terceiro excluído.
Outra possibilidade seria redefinir a implicação de forma tal que quando o antecedente é falso, o valor da fórmula é indeterminável (ver: indeterminação ontológica e epistemológica):
A B A→B
V V V
V F F
F V ?
F F ?
Neste caso o que estamos chamando de “implicação” não é uma função de verdade.
A\to A não seria uma tautologia, Pa\to \exists x Px não seria válida, o argumento \left \{\neg B\ , A\to B\right \}\vDash \neg A seria inválido, e o argumento \left \{B\ , A\to B\right \}\vDash A seria válido:


A A→A
V V
F ?


A B ¬A ¬B A→B
V V F F V
V F F V F
F V V F ?
F F V V ?


E ainda haveria a função de verdade “Se o antecedente é verdadeiro, o conseqüente também é verdadeiro”. E esta função de verdade seria capaz de ser usada para formular tautologias e argumentos válidos que o que acabamos de rotular de implicação não poderia.
Ou seja, isto não consistiria numa solução para as propriedades antiintuitivas da implicação. Apenas a adição de um operador inútil no sistema.

[editar] Parte 2

Outra perplexidade da implicação é, dadas quaisquer duas verdades num sistema, a implicação de uma na outra é verdadeira.
Lembrando que o desenvolvimento da lógica clássica por Frege tinha como objetivo lidar apenas com a aritmética. Neste caso, a implicação entre sentenças distintas não gera perplexidade. Ex: Se 2 é par, então 11 é primo. Afinal, tanto que “2 é par” quanto “11 é primo” derivam dos mesmos axiomas da aritmética.
Contudo, ao aplicarmos a lógica clássica a sistemas mais abrangentes, como “conhecimento geral de mundo”, teremos implicações que são verdadeiras e antiintuitivas. Por exemplo: “Se o céu é azul, então Espinoza é filósofo”, “Se Kant é alemão, então a Lua é satélite da Terra” etc. Por um lado, se interpretarmos \alpha\to \beta como “se o antecedente (α) é verdadeiro, o conseqüente (β) também é verdadeiro” não temos problema algum. Por outro, se interpretarmos \alpha\to \beta como “α implica em β” ou “de α se deduz β”, então temos um problema em valorar como verdadeiro uma implicação entre duas sentenças verdadeiras mas desconexas.
Isto indica um limite de aplicabilidade da lógica clássica: algumas interpretações da implicação só fazem sentido em sistemas nos quais as sentenças tenham conexão.
Inspirado neste “paradoxo da implicação” (que não é propriamente um paradoxo, ver Paradoxos), I. C. Lewis formulou um sistema de lógica modal na qual aparece a implicação estrita.
Lógicas modais são tratadas mais profundamente em Lógicas não-clássicas. Aqui, basta esclarecer que neste sistema aparecem três novos operadores: \Box , \Diamond e \prec . Funcionam assim:
\Box\alpha significa “α é necessário”.
\Diamond\alpha significa “α é possível”.
\alpha\prec \beta significa “α implica estritamente em β”. O que é equivalente a \neg \Diamond\left (\alpha\land \neg \beta\right )
Ou seja, não é possível α ser verdade e β ser falsidade.
A lógica modal de Lewis permite a formalização de sistemas nos quais as sentenças podem ou não ter uma conexão. Contudo, alguns resultados antiintuitivos da implicação têm suas versões na implicação estrita. Ex:
\Box\alpha\prec \left (\beta\prec \alpha\right )
Ou seja: uma proposição (ou fórmula) necessária é implicada estritamente por qualquer proposição.
\neg \Diamond\alpha\prec \left (\alpha\prec \beta\right )
Ou seja: uma proposição impossível implica em qualquer proposição.

[editar] Questões Filosóficas

Até que ponto o intuitivo é relevante a uma ciência?
A intuição é uma garantia racional da verdade ou falsidade de algo?
Ou a intuição é apenas uma conformação com o usual, dentro do qual apenas algumas verdades garantidas pela razão (por outros meios) se encontram?
Se for o caso, não bastaria simplesmente, ao aplicar a lógica na retórica, ignorar argumentos antiintuitivos - ex: \left \{A\land \neg A\right \}\vDash B , A\vDash B\to A , \neg A\vDash A\to B etc. - assim como são ignorados argumentos válidos e intuitivos, mas inúteis para a retórica - ex: A\vDash A , A\land B\vDash A , \left \{A , B\right \}\vDash A\land B , A\vDash A\or B etc. - ?
Por outro lado, até que ponto uma ciência que se propõe a estudar a validade formal dos raciocínios pode ignorar a intuição?
Obtido em "http://pt.wikibooks.org/wiki/L%C3%B3gica/Princ%C3%ADpio_da_Explos%C3%A3o,_Lei_de_Dun_Scot,_Prefixa%C3%A7%C3%A3o_e_as_propriedades_antiintuitivas_da_implica%C3%A7%C3%A3o"