Introdução à Física/Movimento de projéteis

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"... se um canhão horizontal, numa torre, atira paralelamente ao horizonte, não importa se a carga de pólvora é

grande ou pequena, de forma que a bala caia a mil jardas ou a quatro mil ou a seis mil, todos estes tiros levam 
o  mesmo tempo (para atingir o chão) e este tempo é igual ao que a bala levaria da boca do canhão até o solo se
caísse  diretamente para baixo sem qualquer impulso (i.e. em queda-livre)." Galileu Galilei

Imaginemos um projétil que é lançado com uma velocidade inicial vo que faz um ângulo θ com o eixo horizontal e descreve uma trajetória parabólica. Se chamarmos a componente horizontal do vetor velocidade inicial de v_{o_x} e a componente vertical de v_{o_y} então temos que:

v_{o_x} = v_o \cos \theta
v_{o_y} = v_o \sin \theta

v_{o_x} é constante, logo, a aceleração no sentido do eixo x é nula. No sentido do eixo y o movimento é acelerado como a queda-livre, logo, a = - g. Sabendo disso, temos que:

v_y = v_{o_y} + a \Delta t \Rightarrow v_y = v_o \sin\theta - g \Delta t
v_x = v_{o_x} \Rightarrow v_x = v_o \cos \theta

E também:

y = y_o + v_{o_y}t + \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow y = v_{o_y} t - \frac {gt^2}{2} \Rightarrow y = v_o \sin \theta t - \frac{gt^2}{2}
x = v_x t \Rightarrow x = v_{o_x}t \Rightarrow x = v_o \cos \theta t

Desparametrizando o tempo (t) na última equação, temos que t=\frac{x}{v_o\cos \theta}. Substituindo em y:

\begin{matrix}y & = & v_o \sin \theta \left ( \frac {x}{v_o \cos \theta} \right ) - \frac{g}{2} {\left ( \frac{x}{v_o \cos \theta} \right)}^2 \\ \ & = & \tan \theta \times x - \frac{g x^2}{2v_o^2 \cos^2 \theta} \end{matrix}

A altura máxima do projétil será alcançada no instânte tmax em que v_y é nulo. Logo

v_y = v_o \sin \theta - gt \Rightarrow t_{max} = \frac{v_o \sin \theta}{g}
y_{max} = \frac{v_o^2 \sin^2 \theta}{2g}

E como o movimento no eixo y é acelerado podemos dizer que

v^2 = v_o^2 + 2a \Delta y \Rightarrow v_y = \sqrt{v_o^2 \sin^2 \theta - 2g \Delta y}

Podemos também chamar de A o alcance do projétil; e sabendo que ele leva o dobro do tempo que leva até ymax para alcançar A

x = vocosθt
A = v_o \cos \theta \times \frac{2v_o \sin \theta}{g}
A = \frac{v_o^2}{g}\sin 2 \theta
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