Cálculo (Volume 3)/Sequências e séries: Exercícios

1. Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série seja dada por $s_n=2-\frac{1}{3^n}$.

   a) Esta série converge? Em caso afirmativo, para qual valor?

   b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da série?

2. Determine o valor para o qual as séries abaixo convergem:

   a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{4^n}$

   b) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{e}\right)^n$

   c) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-n}$

   d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{n-1}}{3^n}$

3. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:

   a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

   b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

   c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$

   d) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$

   e) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{2^n}$

   f) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\pi n}{n}$

   g) $\sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n\ln n-1}$

4. Determine se as séries abaixo convergem condicionalmente, convergem absolutamente ou divergem:

   a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

   b) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{n}$

   c) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{(\ln n)^2}$

   d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{e^n-1}$

   e) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sin n}$

   f) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n!}{(2n)!}$

   g) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{1/n}}{\arctan n}$