Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas

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Séries numéricas infinitas >>

Definição: Uma seqüência (em portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é $\Z_+^* \,\!$ e cuja imagem é $\R \,\!$ ou $\Z \,\!$ . $f: \Z_+^* \rightarrow \R$

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb{N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

Notações:

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

[editar] Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$

$\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)$

[editar] Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_n=a_1+(n-1).r\,\!$

[editar] Limite de uma seqüência

Definição: Dada uma seqüência ${a_n} \,\!$ , dizemos que o número $L \in \R \,\!$ é o limite de ${a_n} \,\!$ para $n \rightarrow +\infty \,\!$ se, $\forall \quad \varepsilon \,\!$ > 0, $\exists N \,\!$ tal que $n \ge N \Rightarrow |a_n - L| \,\!$ < $\epsilon \,\!$ .

Definição: Se a seqüência ${a_n} \,\!$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

[editar] Propriedades de seqüências

Sejam ${a n},{b n}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ e $\lim_{n \to \infty} b_n = B$ . Então:

$\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A + B$
$\lim_{n \to \infty} k\cdot(a_n) = k \! \cdot \! A$
$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}, \quad B \ne 0$

[editar] Subseqüências

Definição: Dada uma seqüência $f: \Z_+^* \rightarrow \R$ , as restrições de $f$ a subconjuntos de $\Z_+^*$ serão denominadas subseqüências de $f$ .

Teorema: Se $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ , então toda subseqüência de ${a n}$ converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência ${a n}$ , se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então ${a n}$ converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência $a n$ , temos que:

l é chamada de cota inferior se $l \le a_n, \forall n$
L é chamada de cota superior se $L \ge a_n, \forall n$
$a n$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

Se ${a n}$ é uma seqüência crescente ( $a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots$ ), então $a 1$ é uma cota inferior
Se ${a n}$ é uma seqüência decrescente ( $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \ldots$ ), então $a 1$ é uma cota superior
Se ${a n}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ( $a n$ > $0$ ), então $a n$ é limitada, $0 \le a_n \le a_1$