Cálculo (Volume 3)/Séries de potências

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[editar] Séries de potências

Uma série de potências é uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \ldots (série de potências de x - a), em que a e an são constantes.

Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_, Dc, que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Teorema: Seja a série \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n com raio de convergência r, isto é, a série converge no intervalo aberto (a − r,a + r). Então, chamando \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n de f(x), temos:

  • f(x) é contínua em (a - r,a + r)
  • \exists f'(x) tal que f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot a_n (x-a)^{n-1}
  • \exists H(x) tal que H(x) = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n(x-a)^{n+1}}{n+1}

Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:

\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \quad \mbox{se } |x| < 1

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x


Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.

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