Cálculo (Volume 1)/Integrais

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Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Integrais[editar | editar código-fonte]

Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.

Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em:
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Integral

Antiderivadas e antidiferenciais[editar | editar código-fonte]

Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:

Considere a função  F(x)=f(x)+C cuja derivada F\ '(x) = f\ '(x) , então dizemos que F(x) é a antiderivada de f\ '(x) , a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos f\ '(x) para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antidiferenciação, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar  f\ '(x) e zero, o primeiro requisito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.

Podemos então dizer:

A antiderivação é o processo pelo qual operamos a derivada de uma função 
para encontrar a sua exata função primitiva.

O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante.

A antidiferenciação, opera apenas os processos para dedução de um esboço da
função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: f(x)+C .

Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: f\ '(x)\quad ;\quad g\ '(x) derivadas de f(x)+C\quad ; \quad g(x)+D , mesmo que f\ '(x)=g\ '(x) , ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos f(x)\quad ;\quad g(x) , que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.


Definições[editar | editar código-fonte]

Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função y=f(x)+C , então temos: \frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=f\ '(x) , o que nos leva a algo muito interessante:

 \mbox{d}y = f\ '(x) \cdot \mbox{d}x 

O que nos lembra:

\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} f\ '(x) \cdot \Delta x

Temos ainda que y=f(x)+C , fazendo-nos deduzir que precisamos operar:

  \lim_{\Delta x \to 0} f\ '(x) \cdot \Delta x

Para encontrar y.

Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:

 \int f \cdot \mbox{d} 

Onde (f) é a função e (d) é a diferencial da variável independente.

De forma mais completa a antidiferencial da função f\ '(x) é:

 \int f\ '(x) \cdot \mbox{d}x + C

onde C é a constante que define a função primitiva.


Operações básicas[editar | editar código-fonte]

A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos. Devido a complexidade que envolvem o processo, muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos; para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros.

T20 - Diferenciais[editar | editar código-fonte]

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Integração de diferenciais
A diferencial \mbox{d}x ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:
\int \mbox{d}x=x+C

Com C constante.

Comprovação:

De fato se F(x)=x+C :

\mbox{d}\ F(x)= \mbox{d}x + 0

\mbox{d}\ F(x)= \mbox{d}x

T21 - Constantes[editar | editar código-fonte]

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Integração de constantes
A constante c é operada como coeficiente da variável independente, de forma que sua antidiferencial é:
\int c\  \mbox{d}x = c \cdot x

Comprovação:

Se fizermos:  f(x)=c\ x , teremos:

f\ '(x)= c

Conforme o teorema T13 - fator.

T22 - Adição[editar | editar código-fonte]

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Integral da adição de funções
Se f(x)=g(x) + h(x) então:
\int f(x)\mbox{d}x=\int g(x)\mbox{d}x + \int h(x)\mbox{d}x

Comprovação:

Se f(x) é o resultado da soma de duas antidiferenciais, logo:

  1. Temos que admitir que g(x) e h(x) são diferenciais;
  2. A soma de diferenciais admite que:
    1. Se g(x)= \mbox{d} m e h(x)= \mbox{d} n , temos: g(x) + h(x)= \mbox{d} m + \mbox{d} n
    2. Sendo, portanto, possível fazer: g(x) + h(x)= \mbox{d} (m + n)
    3. Além disso: Se (m + n) = p então, podemos fazer: f(x)= \mbox{d} p

Portanto, pela análise da reversibilidade, é possível constatar que a adição de duas antidiferenciais pode ser operada distributivamente, o que atesta a regra que expomos.

T23 - Variável com expoente constante (antidiferencial)[editar | editar código-fonte]

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Antidiferencial da função com expoente constante
Seja a função f(x)={x^n} onde n é constante, sua antidiferencial é:
U(x)= \int f(x) \mbox{d} x = \frac {x^{n+1}}{n+1}+C  ; onde: n \ne -1

Onde C é constante.

Comprovação:

 U\ '(x)= \frac{\mbox{d} \frac{x^{n+1}}{n+1}+C}{\mbox{d} x}

 U\ '(x)= \frac{1}{n+1} \frac{\mbox{d} ({x^{n+1}})}{\mbox{d} x} + \frac{\mbox{d} C}{\mbox{d} x}

 U\ '(x)= \frac{1}{n+1} \cdot (n+1) (x^n) + 0

 U\ '(x)={x^n}

 U\ '(x)=f(x)

T24 - Regra da cadeia para antidiferenciais[editar | editar código-fonte]

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Regra da cadeia para antidiferenciais
Seja as funções f(u) e u=g(x) , contínuas em seus domínios ou no intervalo a que se propõe a análise em questão. A antidiferencial da função composta f(u) com relação a x é:
\int f(u) \mbox{d} x = \int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \mbox{d} x + C

Onde C é a constante que define a primitiva.

Comprovação:

Uma vez que:

u=g(x) , temos:

\mbox{d} u= g\ '(x) \cdot \mbox{d} x

O que nos possibilita operar, por substituição:

\int f(u) \mbox{d} u , obtendo:

\int f(u) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x

\int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x

para definir a antiderivada, usamos a constante C:

\int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x + C

O que comprova a regra.


Introdução a equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Considerando a questão da indefinição criada pela diferenciação, o processo de antidiferenciação traz uma conseqüência indesejável para o processo de equacionamento de diferenciais. Quando uma equação diferencial é proposta, a constante de antidiferenciação faz com que o processo de resolução seja bastante prejudicado, o que exige que tenhamos técnicas especiais para tentar resolvê-la. Faremos agora uma breve introdução aos conceitos de equações diferenciais, porém, o estudo completo do tema demanda um aprofundamento maior por parte dos interessados, ao longo dos nossos estudos teremos meios para simplificar o processo, embora que a solução de muitas equações diferenciais quando não são impossíveis exigem muito esforço e dedicação.

Diferenciais de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

Seja a equação y=f(x)+a , a sua derivada é expressa como:

 \frac {\mbox{d} y}{\mbox{d} x}=f\ '(x)

sendo a uma constante arbitrária, definida pelas características das deduções que originaram a equação.

O que resulta na equação diferencial:

 {\mbox{d} y}=f\ '(x)\cdot {\mbox{d} x}

Esta equação é denominada: Equação diferencial de primeira ordem, visto que é originada de uma derivada primeira, o que permite facilmente separar as variáveis diferenciais. Por outro lado, como meio para reverter o processo de diferenciação, fazemos:

 \int {\mbox{d} y}=\int f\ '(x)\cdot {\mbox{d} x} + C

Com C constante; lembre-se que C é uma constante não definida, a constante original é a .

Pelo exposto deduzimos que a equação assumirá a forma:

y=f(x)+C

Porém, como C é uma constante indefinida, temos uma função ainda indefinida.

Constante antidiferencial[editar | editar código-fonte]

A constante resultante da indefinição na antidiferenciação é expressa na equação diferencial como observamos na seção anterior, para aumentar as possibilidades da análise, cosideremo-la como variável, ao fazer isto temos um comportamento interessante para a função resultante; quando atribuimos valores a esta variável temos uma equação para cada valor assumido pela mesma, se observarmos mais atentamente, descobriremos que o gráfico da função mantém a forma, porém varia a altura em relação ao eixo das abscissas (variável independente), ou seja, a equação antidiferencial fornece um conjunto de curvas, o que possibilita uma infinidade de valores.

O que definiria a escolha de uma constante em particular? A constante definirá qual a curva que obedece o comportamento espelhado pelos números que compõem a curva a ser escolhida. De fato basta um par ordenado definido dentro do conjunto de números que obedecem à equação e teremos a definição da função exata. Em várias áreas onde podemos utilizar estas equações temos a definição deste par ordenado a partir do comportamento dos números que são observados ou deduzidos, na maioria das vezes este par de números é chamado de estado inicial, pois estabelece o comportamento da equação quando os valores das variáveis são conhecidos inicialmente.

No nosso caso da seção anterior coseguimos a fórmula geral:

y=f(x)+C

Certamente, podemos afirmar que:

Quando f(x)=0 temos y=a pois:

a=0+C

C=a

É uma afirmação fácil de ser encontrada, uma vez que conhecemos a equação original, porém se não a conhecemos, a observação e a dedução lógica devem ser usadas para encontrá-la. Algumas vezes podemos nos perguntar: Basta-nos conhecer o conjunto de equações ou precisamos de uma equação específica? O mérito desta questão deve ser avaliado de acordo com a necessidade da análise a ser feita, cabendo ao analista verificar quais são seus requisitos dentro do que se propõe a verificar.


A integral indefinida[editar | editar código-fonte]

Seja a antidiferencial:

\int f(x) \mbox{d} x

Observamos que a mesma corresponde a uma operação sobre pequenas seções de área, pois f(x) \mbox{d} x corresponde a multiplicação de um segmento numérico de largura, \mbox{d}x , pela altura, o valor da função aproximada ao limite em cada ponto.

A operação da forma que se apresenta estende-se de - \infty a + \infty . Analisando qual a natureza desta operação, podemos tomar dois valores para \mbox{d} x , sejam: {\mbox{d} x}_1 e {\mbox{d} x}_2 , sendo {\mbox{d} x}_2\ >\ {\mbox{d} x}_1 , quando analisamos este fato concluimos que a área do intervalo menor está dentro da área do maior, vemos que a operação comporta-se como uma soma de áreas, se somarmos todas as componentes de áreas ao longo da curva teremos uma área delimitada pela curva e o eixo x.

Chamamos esta operação de integral, seu símbolo é o mesmo da antidiferenciação, pois devido aos fatos acima introduzidos e ao teorema fundamental do cálculo, que discutiremos adiante, a operação de antidiferenciação pode ser chamada de integral indefinida.


A integral definida[editar | editar código-fonte]

Aprofundando o conceito de que há uma soma de pequenos segmentos de área para cada ponto em uma curva, podemos delimitar uma seção da curva, através da adoção de um intervalo, desta forma teremos uma área definida, a qual chamamos de integral definida. Antes de detalhar o processo para encontrar a referida área faz-se necessário a observação de conceitos que serão úteis para seu desenvolvimento, o próximo tópico abordará a somatória, um procedimento que facilitará o estudo das somas sucessivas que propomos analisar.

Somatórias[editar | editar código-fonte]

Considere a operação: U=a_1+a_2+a_3+a_3+a_4+...a_n , chamamos esta operação de somatória, ela é simbolizada pela letra grega sigma (\Sigma ), utilizando a notação escrita como segue:

\sum_{i=1}^n a_i

O significado deste símbolo é facilmente compreendido: A variável i é chamada de índice, o número n é a quantidade de parcelas, ocorre que, ao substituir estes valores na expressão a_i, fazemos de forma seqüencial, somando um valor ao anterior, como descrito na operação acima, o que resultará no valor final de U, pretendido na referida operação.

Propriedades

T25 - Constante[editar | editar código-fonte]

\sum_{i=1}^n c = nc

com c constante.

Comprovação:

\sum_{i=1}^n c = c+c+c+c+c+c+ \dots +c \Rightarrow n vezes.

T26 - Fator[editar | editar código-fonte]

\sum_{i=1}^n cf(i) = c\sum_{i=1}^n f(i)

com c constante.

Comprovação:

\sum_{i=1}^n cf(i) = cf(1)+cf(2)+cf(3)+cf(4)+cf(5)+cf(6)+ \dots +cf(n)

\sum_{i=1}^n cf(i) = c[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+ \dots +f(n)]

T27 - Adição[editar | editar código-fonte]

\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = \sum_{i=1}^n f(i) + \sum_{i=1}^n g(i)

Comprovação:

\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] =  [f(1) + g(1)] + [f(2) + g(2)] + [f(3) + g(3)]+ \dots +[f(n) + g(n)]

\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] =  [f(1) + f(2) + f(3)+ \dots +f(n)] + [g(1) + g(2) + g(3)+ \dots +g(n)]

T28 - Exclusão de termo antecedente[editar | editar código-fonte]

\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = f(n)\ -\ f(0)

Comprovação

\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = f(1)\ -\ f(0) + f(2)\ -\ f(1) +f(3)\ -\ f(2) +f(4)\ -\ f(3) - \dots + f(n)-f(n-1)

\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = - f(0) + f(n)

Definição da Integral de Riemann[editar | editar código-fonte]

O conceito de integral está ligado à necessidade de encontrar a área de curvas, as abordagens tomadas para solucionar o problema do cálculo de áreas curvas encontram sempre o mesmo resultado. Para não nos extendermos muito, faremos uma explanação do processo chamado: Integral de Riemann, o qual é um dos mais conhecidos.

Vejamos o gráfico abaixo:

Integral de Riemann.svg Integral de Riemann

Figura 4

O gráfico mostra uma função sinuosa, se fizermos seções retangulares para imitar o contorno das curvas teremos uma maneira grosseira de calcular a área delimitada pela curva e o eixo x, uma vez que temos a possibilidade de aumentar a quantidade de retângulos, podemos aumentar a precisão dos nossos cálculos... Se fizermos com que o número de retângulos aumente numa tendência ao infinito, teremos o valor da área.

Consideremos a função do gráfico: y=f(x) , a sua integral entre os valores de x: a e b é:

 \int^b_a f(x) \mbox{d} x

Chamamos o intervalo [a,b] de partição e simbolizamos como: \Delta . Ao dividirmos o intervalo [a,b] em n "pedaços"(seções) temos a possibilidade de definir o tamanho de cada um, porém a regra de Riemann é mais flexível e estabelece que podemos ter pedaços de tamanhos diferentes, de forma que tenhamos apenas que estabelecer os valores de x tal que: \{x_1<x_2<x_3<x_4<x_5< \dots <x_n\} . Uma vez que estabelecemos os valores dos x, podemos arbitrar um ponto intermediário entre eles para que seja o ponto onde definiremos o valor da função, este ponto será importante porque ele estabelecerá a altura do retângulo. O valor de x, que determinará o ponto da altura de cada retângulo é referenciado como ( \xi ) , referenciamos estes pontos como: [{\xi}_n\ ,\ f({\xi}_n)].

A base dos retângulos é \Delta x_n , onde os valores podem variar livremente, porém há sempre um retângulo que possui a maior base, que chamamos de norma da partição [a,b] , simbolizada por \left \| \Delta \right \|.

Podemos somar todos os retângulos da partição, fazendo o cálculo aproximado da área, da seguinte maneira:

\sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x

A integral é obtida quando fazemos os retângulos tão pequenos que poderemos considerar suas bases quase nulas, para isso podemos dividir a partição em pedaços de [a,b]:

{\Delta x \to 0} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{a-b}{n}

O que nos permite delimitar a norma \left \| \Delta \right \| e definir a sua tendência a zero, também nos dá a possibilidade de definir a integral como:

\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x

Propriedades da integral definida[editar | editar código-fonte]

Algumas propriedades são observadas a partir dos conceitos expostos sobre a integral, são regras para simplificar algumas operações, mas que podem ser úteis para o estudo de teoremas que veremos em capítulos mais adiante, vejamos as propriedades e suas comprovações:

Sejam f(x) e g(x) , funções contínuas no intervalo [a,b] , podemos afirmar que:

T29 - Limites iguais[editar | editar código-fonte]

 \int^a_a f(x) \mbox{d} x = 0

Comprovação:

Podemos observar que, ao tomarmos o intervalo [a,b], dividindo-o em n pedaços, teremos:

\Delta x = \frac {a-b}{n}

Sendo b=a teremos:

\Delta x = \frac {a-a}{n} = 0

então:

{\Delta}_i x = 0 e:

\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x = 0

O que comprova o teorema.

T30 - Fator do integrando[editar | editar código-fonte]

Sendo K constante:

 \int^b_a K f(x) \mbox{d} x = K \int^b_a f(x) \mbox{d} x

Comprovação:

\int^b_a K f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} K f({\xi}_i) {\Delta}_i x

que é igual a:

\int^b_a K f(x)\mbox{d} x =K \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x

O que comprova o teorema.

T31 - Inversão dos limites[editar | editar código-fonte]

 \int^b_a f(x) \mbox{d} x = - \int^a_b f(x) \mbox{d} x

Comprovação:

Novamente tomando o intervalo [a,b] , dividindo-o em n pedaços, teremos:

\Delta x = \frac {a-b}{n}

Portanto \Delta x é fator determinante do sinal. Se tomarmos a integral no intervalo [a,b] e invertermos a sua posição no cálculo, teremos:

 \frac {a-b}{n} = - \frac {b-a}{n}

Logo, tomando a \to b como \Delta x é igual a tomar  b \to a como  - \Delta x .

O que comprova o teorema.

T32 - Adição[editar | editar código-fonte]

 \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \int^b_a f(x) \mbox{d} x + \int^b_a g(x) \mbox{d} x

Comprovação:

Sendo a integral:

 \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} [f({\xi}_i)\ +\ g({\xi}_i)] {\Delta}_i x

logo:

 \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i){\Delta}_i x\ +\ \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} g({\xi}_i){\Delta}_i x

O que comprova o teorema.

T33 - Seções complementares[editar | editar código-fonte]

Sendo c constante e  a<c<b :

 \int^b_a f(x) \mbox{d} x = \int^c_a f(x) \mbox{d} x + \int^b_c f(x) \mbox{d} x

Comprovação:

\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x

Tomando o intervalo entre a e c e fazendo a relação:

 \Delta = \frac{c-a}{k}

e

 \Delta = \frac{b-a}{n}

O \Delta é um valor que pode ser atribuído às duas relações, portanto podemos fazer:

\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^k_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x + \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=k+1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x

Que é semelhante a propriedade da soma das áreas de dois objetos que formam um corpo maior, que costumamos usar na geometria e que prova o teorema.

T34 - Valor médio[editar | editar código-fonte]

Seja a seção  [a,b] no domínio da função f(x) , dizemos que M é o valor médio da função neste intervalo, sendo seu valor definido como segue:

 M = \frac {\int^b_a f(x) \mbox{d} x}{b-a}

Comprovação

O valor médio de uma função é expresso pela função abaixo:

M = \frac {\sum^n_{i=1} v_i}{n}

Onde v_i representa um valor em particular. Sendo f({\xi}_i) o valor da função para cada retângulo, podemos fazer a sua média da seguinte forma:

M = \frac {\sum^n_{i=1} f({\xi}_i)}{n}

Por outro lado, podemos fazer com que o n seja:

n=\frac{b-a}{\Delta x}

logo:

M \approx \frac {\sum^n_{i=1} f({\xi}_i) \Delta x}{b-a}

Uma vez que o \Delta x é um valor muito grosseiro, podemos encontrar o limite quando a norma da partição tende a ser nula, desta forma:

M =  \frac {1}{b-a} \cdot \left [ \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0 } \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) \Delta x \right ]

O que comprova o teorema.


T35 - Teorema fundamental do cálculo[editar | editar código-fonte]

Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] , a sua integral definida entre a e b é obtida pela operação que segue:

\int^b_a f(x) \mbox{d} x = g(b)\ -\ g(a)

Onde:

g(x)=\int f(x) \mbox{d} x

Chegamos ao ponto culminante deste estudo inicial sobre as integrais, este teorema, chamado de Teorema fundamental do cálculo, é a base de nossas análises mais específicas nos próximos capítulos, ele afirma que a integral definida pode ser obtida através da antidifererncial da função, para tal, adotamos a seguinte notação :

\int^b_a f(x) \mbox{d} x = g(x)|^b_a

Comprovação:

Devemos demonstrar que a derivada de g(x)|^b_a é igual a f(x) .

Como podemos observar, quando calculamos o valor da integral definida, variamos o limite superior gradativamente de a até b, isto nos indica que podemos criar uma nova função, como escrito abaixo:

F(x)= \int^{x}_a f(u) \mbox{d} u

Observe que x é dita independente de u, pois a última constroi a curva da função, enquanto que a outra nos dá a integral de qualquer ponto com relação a distância da contante a, portanto, calculando sua derivada temos:

F\ '(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int^{x+ \Delta x}_a f(u) \mbox{d} u  - \int^x_a  f(u) \mbox{d} u }{\Delta x}

F\ '(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int^x_a f(u) \mbox{d} u + \int^{x+ \Delta x}_x f(u) \mbox{d} u - \int^x_a  f(u) \mbox{d} u }{\Delta x}

F\ '(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int^{x+ \Delta x}_x f(u) \mbox{d} u}{\Delta x}

Conforme o teorema T34, a parte da equação operada pelo limite é um valor médio.

Observe que  F\ '(x) = \lim_{\Delta x \to 0} M(x) , ou seja, é o limite do valor médio quando o intervalo tende a ser nulo, o que resulta em  f(x) , pois é equivalente a fazer uma média com apenas um elemento, o próprio valor de  f(x) . Observemos ainda que o valor médio, aqui expresso, não é constante, visto que depende de x, o que quer dizer que temos um valor médio para cada seção da curva.

O valor médio dos valores entre f(x) e f(x + \Delta x) no mínimo é feito com os dois extremos apresentados, da seguinte forma:

 M(x) = \frac {f(x + \Delta x) + f(x)}{2}

e

 F\ '(x) = M(x)

no limite:

F\ '(x)  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) + f(x)}{2}

resulta:

F\ '(x) = f(x) .

Portanto  F(x) é antidiferencial de  f(x) .

Por outro lado ao fazer:

F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\mbox{d} x- \int^a_a f(x)\mbox{d} x

F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\mbox{d} x- 0

então:  g(x)=F(x) que é a antidiferencial de f(x) , logo:

g(x)=\int f(x) \mbox{d} x

O que comprova o teorema.