Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

Dentre os editores que participaram da criação deste livro, damos crédito pelas seguintes competências:

Todos aprendemos, até este ponto, a matemática elementar, com ela podemos lidar com inúmeras de nossas necessidades mais corriqueiras do dia a dia. A partir de agora, teremos a oportunidade de dispor de recursos mais sofisticados.

O Cálculo, em conjunto com outras disciplinas, faz parte do aprendizado da matemática de nível superior. Ele é uma valorosa ferramenta de análise, muito utilizada em ciências exatas. Esta ferramenta recebeu o nome cálculo, como forma abreviada da expressão "Cálculo Infinitesimal" ou "Cálculo Diferencial e Integral". Este livro explora a parte inicial do estudo de cálculo básico, presente nos cursos de nível superior mais voltados às ciências exatas e suas ramificações. Por ter um caráter introdutório, permite ao estudante fazer gradativamente uma transição do pensamento de nível médio para nível universitário. Com ele iremos navegar pelas análises algébricas, numéricas e geométricas, lidando com valores tão pequenos que podem ser considerados relativamente ínfimos. Ao mesmo tempo, iniciaremos as análises de quantidades, desses elementos infinitesimais, tão numerosas que poderíamos chamá-las de populações gigantescas.

Este livro utiliza as notações e as siglas mais encontradas nos livros didáticos de Cálculo no Brasil, algumas notações comuns em livros "on-line" seguem o padrão norte-americano e por isso estão fora dos objetivos desta publicação, que foi idealizada para ser instrumento de aprendizado para nativos da língua portuguesa, alguns exemplos de notações são encontradas principalmente nas funções trigonométricas, como o seno que simbolizamos enquanto que em outros livros verificamos , ou tangente que notamos enquanto que em outros vemos .

Dividimos o estudo de Cálculo em 3 (três) livros, que não são necessariamente indicados especificamente para as subdivisões do estudo feito nas universidades, embora tenhamos alguns cursos onde há uma divisão da disciplina em até 6 (seis) módulos. Para aproximar a seqüência dos tópicos à dos cursos mais conceituados, fizemos uma pesquisa e adequamos os índices ao cronograma destes cursos, para isso pesquisamos universidades públicas e privadas no Brasil, obviamente, seria impossível adequar a seqüência dos tópicos para todos os cursos que se utilizam deste estudo, acredito que está próxima da média de adequação.

Para sequenciar os capítulos e indicar a sua aplicação foi incluída uma tarja cinza no topo de cada página dos livros desta série, que tem o objetivo de orientar a que nível de dificuldade se destina o conteúdo, o cronograma adotado é o mais completo, portanto, algumas partes dos livros podem ser retiradas do currículo do curso, conforme a instrução do tutor ou mestre que o formulou.

Espero que tenhamos um bom proveito do conteúdo deste e dos outros livros sobre este tema.

[editar] Limites

[editar] Breve explanação

Vejamos o gráfico a seguir:

Figura 1

O gráfico representa a função definida pela regra:

Esta função não está definida para , pois não faz sentido escrever . No entanto, podemos calcular f(x) para valores de x muito próximos de 6. Observe a tabela:

x	5,5	5,8	5,99	6	6,05	6,2	6,5
y = f(x)	0,75	0,9	0,995		1,025	1,1	1,25

Se fizermos temos ; se agora fizermos teremos ; depois fazendo teremos ; portanto quando nós aproximamos x de 6, vemos que também aproximamos y de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos teremos ; e para teremos ; finalmente, se teremos e vemos que o mesmo acontece^[1].

O que isto quer dizer?

Acontece que, quando aproximamos x de 6, y se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1. Perceba que quando x se aproxima de 6, de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que y também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se f(x) = y então, o limite de f(x) quando x tende a 6 é igual a 1.

Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação:

Como pode ver, acabamos de caracterizar o conceito de limite a partir da noção intuitiva de aproximar um número de outro.

Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos?

Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a distância entre dois números reais é dada pela fórmula d(a,b) = | a − b | . Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo:

• Se δ é um número pequeno e | x − a | < δ então x está próximo de a ;
• Se diminuimos gradativamente o valor de ε, e ao mesmo tempo escolhemos y satisfazendo | y − L | < ε, podemos dizer que estamos aproximando y de L;

Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de x e a variação dos valores assumidos pela função f(x) pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer f(x) ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de x suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer d(f(x),1) ficar menor que ε, é suficiente encontrar um valor de δ pequeno o bastante e fazer escolhas de x que satisfaçam d(x,6) = | x − 6 | < δ, ou seja, basta escolher x próximo de 6.

[editar] Analisando as condições

Sugestão de aprimoramento: Remover esta seção "Analisando as condições", conforme este tópico da discussão

Seja a função , onde , se a é um ponto de acumulação de D_f (o domínio de f), existe um número , tal que:

Sob estas condições, queremos definir o valor de forma que o mesmo seja extremamente pequeno, por isso é importante notar que precisa-se fazer com que diminua sob a óptica da análise que deveremos fazer.

Sendo f(a), definido ou não, verificamos a existência de um número que tende a L e que exista um número ε, de forma que estas condições sejam suficientes para garantir que:

Quando diminuimos até que não seja mais possível distingüir de ,embora eles sejam infinitesimalmente diferentes, deveremos ter um correspondente. Caso isto seja possível, é o limite de quando tende a .

[editar] Definição

Adotamos a notação

para dizer que a função possui a seguinte propriedade:

De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas:

• é o limite de , quando tende para , ou que
• tende quando tende para

ou com símbolos:

• quando
• 

Observação

Para aqueles que também se interessam por lógica e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do cálculo quantificacional clássico. Assim, dado , diremos que , quando:

[editar] Propriedades

Uma vez motivada a definição do conceito de limite, e apresentada sua caracterização formalmente, é muito útil garantir que os limites satisfazem certas propriedades operatórias, no sentido de que pode-se fazer operações com as expressões que representam limites. As principais propriedades válidas para limites são apresentadas nos teoremas T1 até T6.

Resumidamente, T1 garante que o limite de uma função em um ponto (ou no infinito) é único. Isso significa que quando duas pessoas se propõe a calcular um limite (que exista), elas chegarão obrigatoriamente a um mesmo resultado. Isso justifica por exemplo o uso da expressão o limite de f(x) no ponto a em vez de um limite de f(x) no ponto a.

O teorema T2 estabelece a somatividade dos limites: para somar dois limites que existem, podemos somar as duas funções e calcular apenas o limite desta soma. Uma propriedade análoga vale para a diferença entre limites.

Os teoremas seguintes (de T3 até T6) exploram o mesmo tipo de propriedade para as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de limites. Observe que tradicionalmente estas operações são definidas para números reais. No entanto, talvez por causa de sua simplicidade, podem ser facilmente estendidas para operações entre funções.

Considere, por exemplo, o caso da potenciação. O teorema T5, mostra que para se calcular o limite da (função) n-ésima potência de f(x) que tem limite no ponto a, é suficiente calcular a n-ésima potência do (número dado pelo) limite de f(x) no ponto a.

[editar] T1 - (Unicidade)

Unicidade
Seja uma função real se o limite da mesma em um ponto existe, então ele é único. Em outras palavras:
Se e então

Demonstração:

Proponhamos que e , mas .

Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada ε > 0, existe δ₁ tal que:

para todo x que satisfaz

Além disso, existe δ₂ para o qual vale

sempre que x verifica a desigualdade

Como L₁ e L₂ não são iguais, a diferença é não nula.

Da desigualdade triangular:

Se tivermos um δ < min(δ₁,δ₂) e , serão válidas as condições:

Teremos em consequência que:

para todo x para o qual .

Como podemos arbitrar ε, teremos, ao fazer , que:

Mas isto é contraditório, portanto .

[editar] T2 - (Soma e diferença)

Limites da soma e da diferença
Sejam duas funções e , cujo limite em um ponto a exista. O limite da soma (ou da diferença) das funções no ponto é:

Demonstração:

Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida.

Tomando e , devemos, pela definição, provar que:

Dado qualquer ε positivo, existe algum δ positivo, para o qual sempre que satisfaz

Posto que existem os limites de f(x) e g(x) em a, já sabemos que para quaisquer k e p positivos, existem δ₁ e δ₂ positivos satisfazendo:

• , tal que

• , tal que

e pela desigualdade triangular:

Então, ao arbitrar , existe , de modo que se vale:

, ou seja,

[editar] Observação

Ao provar a propriedade para a diferença de funções, a principal mudança é no passo onde é utilizada a desigualdade triangular. Em tal caso, deveriamos observar que:

[editar] T3 - (Produto)

Limite do produto de duas funções
Se existem os limites das funções e em um ponto a, então o limite do produto das funções neste ponto existe, e é dado por:

Demonstração:

Consideremos que e que .

Queremos verificar se para cada ε positivo, existe algum δ positivo, tal que

, para todo que verifica

Considerando que existem os limites e , é possível encontrar certo , para o qual

• ⁽¹⁾ sempre que e .

do que podemos concluir que, para estes valores de x, vale .

Mas para qualquer , com p > 0 e k > 0, também existem valores positivos δ₂ e δ₃, de modo que

• ⁽²⁾, quando e e

• ⁽³⁾, se e .

Então, se , e , valem as desigualdades (1), (2) e (3).

Vamos então trabalhar com a expressão para concluir que ela é fica menor que ε para estes valores de x . Primeiramente, observe que

Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que | M | < | M | + 1, obtemos

Aplicando as desigualdades (1), (2) e (3), resulta

Como , concluimos que

Portanto, , o que confirma a validade do teorema.

[editar] T4 - (Razão)

Limite da razão de duas funções
Sejam duas funções e o limite da razão das funções em um ponto é:

Demonstração:

[editar] T5 - (Potência)

Limite da função com expoente.
Seja a função , o limite da função em um ponto , quando a mesma é elevada a um expoente , é:

Demonstração:

De fato, temos:

O que, pelo teorema do produto, nos leva a:

E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar.

[editar] T6 - (Radiciação)

Limite da radiciação de uma função.
Sejam a função , o limite da função em um ponto , quando a mesma está sob um radical de potência inversa , é:

Demonstração:

Conseqüentes para funções algébricas:

Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição.

Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:

 sendo 

 sendo 

[editar] Limites laterais

Consideremos a função: . Podemos notar que nenhum valor de x menor que 2 está no domínio da função, ou seja, ela não está definida no intervalo . Esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais).

O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função?

Como o seu domínio é apenas , devemos restringir o cálculo de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, ao analisar o comportamento de nas proximidades do ponto , se quisermos adotar apenas números maiores que na análise, podemos simbolizar isto desta forma: , da mesma forma poderemos adotar apenas números menores que , representando a restrição da seguinte forma: .

No primeiro caso dizemos que o limite lateral pela direita da função é o valor para o qual a função tende quando se aproxima de pela direita. No segundo caso dizemos que o limite lateral pela esquerda da função é o valor para o qual a função tende quando se aproxima de pela esquerda.

[editar] Limite lateral pela direita

Dizemos que , quando:

[editar] Limite lateral pela esquerda

Dizemos que , quando:

[editar] Infinitos

Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é algo fascinante... Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível você conceber... Conseguiu? Pois bem, por maior que seja o número escolhido, ele não é infinito. Aqui, falaremos do infinito como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir. É como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.

No início deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas:

• O que acontece com os valores de , quando é muito grande?
• O que fazer quando, ao aproximar de um ponto , os valores de ficam cada vez maiores?

Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de limite. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o infinito como se fosse um número, embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável x esteja tendendo ao infinito, e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso x fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável tende a infinito.

Considerando uma função definida como:

Pensemos na melhor maneira de variar x para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que forneça valores que diminuem até zero. É importante notar que quanto mais diminui, mais os valores da função aumentam.

Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como quociente de funções complicadas ou composição de várias funções, e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante.

Vejamos alguns exemplos numéricos de como a função aumenta sucessivamente os seus valores, quando a variável se aproxima de zero. Acompanhe a tabela:

x	-2500	-200	-10	-0,5	-0,002	-0,000016	0	0,00008	0,0025	2,5	250	4000
y = f(x)	0,0004	0,005	0,1	2	500	62500		12500	400	0,4	0,04	0,00025

Vemos que ao aproximar de zero, os valores de tendem a ficar muito grandes. No entanto, se tivéssemos utilizado a função em vez de , teríamos um comportamento ligeiramente para valores negativos de : Ao fazer se aproximar de zero, decresceria indefinidamente (tenderia a ).

Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", " tende ao infinito" e outras do gênero, com a notação , que será definida precisamente mais adiante.

Isto é um exemplo do que chamamos de infinito matemático.

[editar] Tendências infinitas

Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de se aproximar de um certo número real, quando escolhemos valores cada vez maiores para . Um ótimo exemplo é a função apresentada acima. De acordo com a tabela, vemos que parece ser razoável escrever:

Isso se justifica, pois os valores de ficam muito pequenos (próximos de zero), quando é muito grande.

Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função . Pode-se mostrar que o seu valor jamais será maior que 1 quando tomamos valores de x maiores que 1 (verifique!).

Fazendo sucessivas aproximações vemos que:

De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos x para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 1. Chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita, e dizemos que f(x) tende a 1 quando x tende ao infinito.

Podemos simbolizar a tendência de f(x), quando x fica cada vez maior, usando uma destas formas:

ou

O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo (), então podemos representá-la assim:

ou

A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as têndências infinitas e os limites infinitos.

Definição

Chamamos o número L de limite lateral no infinito positivo se:

 tal que vale a implicação 

Ou seja, L é o número para qual uma função f(x) tende a se igualar quando a variável independente x ultrapassa o número positivo N.

Do mesmo modo, chamamos o número L de limite lateral no infinito negativo se:

 tal que vale a implicação 

Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve necessáriamente ser ilimitado.

[editar] Limites infinitos

Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?

Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor. Adotamos ou , pois , como já definimos anteriormente.

[editar] Continuidade

O básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.

Ao definir o conceito de continuidade, o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de quebras ou saltos em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela "cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel". Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma interpretação do conceito, e que este é muito mais amplo.

Para exprimir em símbolos que uma função f(x) é contínua no ponto a, escreve-se:

Isto significa que:

Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.

Exemplos Considere a função f definida por Tem-se: . Como , se conclui que o limite existe, e é igual a 2. .

[editar] Derivadas

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia.

Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como estão fundamentados os princípios de derivação. Com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal (das pequenas variações).

[editar] Introdução (coeficientes angulares)

Seja uma reta definida pelos pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂). Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (da variável independente), pois quanto maior for o coeficiente angular de uma reta, mais próximo ela estará de ser uma reta vertical.

O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta fixada, e é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x.

Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva... Em uma função para a qual os pontos do gráfico não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo. Isto se deve ao fato de que a inclinação varia ao longo da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.

Considerando uma função f(x), teríamos sobre o seu gráfico os pontos:

Podemos denotar a distância de x₁ até x₂ por , e deste modo:

Logo, teríamos:

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta ligando um ponto (x,f(x)) a outro estabelecido pela distância Δx, que nos fornece: (x + Δx,f(x + Δx)). Imaginando que o gráfico da função seja uma "curva suave", podemos, a partir da equação anterior, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuímos o módulo de Δx a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiente angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analisar mais segmentos da curva.

[editar] Definição

Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo coeficiente angular m, como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva...

Observe a figura a seguir, que mostra o gráfico da função e algumas retas secantes, passando pelo ponto (x,y), onde x = 2 e y = f(x).:

Figura 2

Podemos constatar que a função tem as seguintes características:

• A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre (x,y) e (x₁,y₁);
• A função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo.

Dada uma sequência de pontos (x₁,y₁), (x₂,y₂), cada vez mais próximos de x, traçamos as retas r₁, r₂, partindo do ponto (x,y) fixado e passando pelos pontos correspondentes na sequência. Desta forma, podemos observar que, no caso da sequência apresentada na ilustração:

• A reta r₁ possui uma inclinação maior que r₂;
• Esta última possui uma inclinação maior que r₃;

Além disso, observamos ainda que:

• Quase não se consegue distinguir a reta r₃ do gráfico da função nas vizinhanças do valor x de seu domínio, ou seja, esta reta parece uma boa aproximação da função f em torno de x.

O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas secantes se aproximam da inclinação de uma "reta tangente" ao gráfico da própria função no ponto (x,y), a medida que diminui a distância entre um ponto x_i da sequência e seu limite x.

Vemos então que uma maneira de tornar a inclinação da reta mais próxima da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se tomarmos uma sequência de pontos x_i que ficam cada vez mais perto de x, o resultado é que a partir de algum momento, os pontos tomados para o cálculo de m estarão tão próximos que cada um se tornará quase idêntico ao seguinte. Uma vez que se obteve um valor de m para cada ponto da sequência, gostaríamos de definir a inclinação de f em x₀, ou pra ser mais preciso, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (x₀,f(x₀)), como sendo o limite:

Uma vez que tenhamos um valor deste limite para cada valor de x de um certo conjunto, podemos criar uma nova função, que chamamos de função derivada de f, associando cada x deste conjunto (o domínio da função derivada) com o correspondente f'(x) (a inclinação de f neste ponto x). A nova função é obtida através dos valores de f(x), esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade de uma outra função em cada ponto é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é a derivada da primeira.

A diferença entre os valores de x₁ e x₂, quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial dx e a diferença entre os valores de y₁ e y₂, quando o diferencial dx é levado ao limite, é chamada de diferencial dy:

Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais (usando as diferenças entre x_i e x), neste caso dy e dx.

[editar] Diferenciabilidade

Para que as diferenciais e por consequência, a derivada de uma função em um determinado ponto possam existir, certas condições devem ser cumpridas pela função. Verifica-se a partir da definição de f'(x) que:

• Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir (verifique!);
• A função deve estar definida no ponto e seu valor ser igual ao limite;

Isso nos lembra a definição de continuidade. De fato, as condições acima significam que quando a função é diferenciável em um ponto, ela é também contínua no ponto.

O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do nestes casos.

Portanto, podemos em primeiro lugar verificar a continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável: se esta não for contínua temos condições de afirmar que a mesma não é diferenciável.

[editar] Regras básicas

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas são consequências da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite que aparece na definição e dos teoremas sobre limites de funções.

[editar] T7 - Soma e subtração

Derivada da soma e subtração
Seja a função sua derivada é:

Demonstração:

Pela definição temos:

e portanto:

[editar] T8 - Multiplicação

Derivada da multiplicação
Seja a função então sua derivada é:

Demonstração:

Pela definição temos:

Somamos e subtraímos na equação anterior:

e portanto:

[editar] T9 - Razão

Derivada da razão
Seja a função então sua derivada é:

Demonstração:

Pela definição temos:

Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair o que nos dá:

Depois que aplicamos os limites, resulta em:

[editar] T10 - Natureza algébrica das diferenciais

Natureza algébrica das diferenciais
Se existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas. Seja e as diferenciais de sua derivada é:

Seja dy e dx as diferenciais de f(x) quando sua derivada é Então:

Demonstração:

Pelo teorema da razão do limite:

O que nos dá a possibilidade de fazer:

Desta forma, os operadores dy e dx são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados.

[editar] T11 - Regra da cadeia

Regra da cadeia
Seja a função composta sua derivada pode ser calculada por:

A função composta nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação

Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue:

Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo D_t(z) indica a derivada de z em relação a sua variável t.

Adotando esta notação para as derivadas, temos:

queremos D_x(y) e sabemos que para isso teríamos:

Quando ocorre que pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo:

então:

[editar] Derivadas algébricas simples

Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações.

[editar] T12 - constante

Derivada da constante
Seja a função onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função;

Conforme constatamos:

f'(x) = 0

[editar] T13 - fator

Derivada da função com fator
Seja a função onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que:

Demonstração

Façamos o cálculo pela definição:

O que nos afirma a validade do teorema.

[editar] T14 - Variável com expoente constante

Derivada da função com expoente constante.
Seja a função onde é uma constante positiva e sua derivada é:

Demonstração:

Temos pela definição:

Considerando o limite, temos:

Como única parte relevante, pois todas as outras terão valores nulos no limite, isto prova o teorema.

[editar] Diferenciação implícita

Considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente e que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação, a partir da regra da cadeia, temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua. O método de diferenciação implícita é muito útil como meio de simplificar a resolução de diferenciais onde a variável dependente é de órdem superior.

A idéia mestra deste mecanismo é tornar implícito o conteúdo da variável, sem que seja necessária a sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução; Vejamos um exemplo para simplificar a explanação:

A função y² − 2y − 3 = x³ − 3x² é realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora, porém podemos esquecer a resolução da equação e considerar que a diferenciação pode, implicitamente, ser operada diretamente na equação inteira, desta forma:

A partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar o valor da derivada

A equação que representa a função apresenta dois valores possiveis para y:

O que nos dá duas derivadas, quando substituímos o valor de y na sua derivada:

Simplificando:

Desta forma podemos encontrar qualquer diferencial implicitamente, reduzindo a complexidade na aplicação das regras de derivação.

[editar] Aplicações das derivadas

Vamos começar a colocar em prática esses conceitos que aprendemos até então, a derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas delas vamos explorar neste capítulo, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos, vejamos o que podemos aproveitar de imediato...

[editar] Taxas

A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total "x" de porções "T" em "n" recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:

A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes "n" e calculássemos o valor de "x", mantendo "T" constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa "T" é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.

Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial S_i e um final S_f, além de um instante inicial t_ie um final t_f, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:

ou

Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de Δt se aproxime de zero:

Isto não nos lembra algo conhecido? Exatamente, uma derivada; a velocidade medida a cada instante é uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...

A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função "s" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "s" com relação a "t" e teremos:

Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função s(t), todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.

Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:

O que nos dá a aceleração instantãnea:

ou

Note que ao derivarmos a função s(t) duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:

Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.

Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente.

[editar] Máximo, mínimo e médio

Considerando que uma função não constante deve ter um valor máximo e outro mínimo em um segmento de seu domínio, quais são as possibilidades de análise que teríamos com as suas derivadas, visto que estas expressam tendências da declividade da função?

Vejamos o que podemos extrair das derivadas de uma função, que são expressões da declividade da curva que a representa e nos intui a possibilidade de antever o curso dos valores da função ao longo do domínio.

[editar] Extremos de um intervalo

Seja a função f(x) cujo domínio limitamos em [a,b], a menos que f(x) seja constante,

 (1) Há um numero n1 cujo seu correspondente na imagem f(n1) é menor que todos os outros no domínio.

 (2) Há um numero n2 cujo seu correspondente na imagem f(n2) é maior que todos os outros no domínio.

[editar] Números críticos:

Definimos por número crítico, o valor assumido pela variável independente, de forma que seu resultante na imagem da função derivada seja nulo ou inexistente, o que na maioria das vezes se apresenta como um limite infinito.

Ou seja:

f(x) tem derivada e c é um número crítico da função se:

 ou

[editar] T15 - Valor extremo

O valor extremo de uma função num intervalo
Considere agora que existe um número c, de forma que , que é domínio da função f(x), podemos provar que: Se ou Se então:

Quando temos um número, dentro do intervalo, que obedece as condições acima, dizemos que é um "número crítico"; todas as vezes que uma função contínua tem um número cujo valor correspondente na imagem é maior ou menor que os valores dos outros, temos um máximo ou um mínimo no intervalo, intuitivamente, se a função é contínua e há um valor maior ou menor que os outros no mesmo intervalo é fácil concluir que a função terá que variar sua curva, variando a declividade de um valor positivo para outro negativo, o que nos leva a conclusão que, no limite entre os dois, ela terá que ser zero, fica claro então que quando há um extremo no intervalo, o valor numérico de sua derivada é nulo.

Vejamos a demonstração algébrica do teorema:

Seja os números , onde c é um número crítico do intervalo considerado, inicialmente, observando a derivada de f(c), quando este valor é o maior no intervalo:

e da mesma forma:

O que nos leva a concluir que:

Por outro lado se f(c) é o menor valor do intervalo:

e da mesma forma:

O que nos leva a concluir que:

Logo em ambos os casos o limite que nos dá a derivada da função em c tem valor nulo.

Portanto sempre que temos um valor de uma função que é extremo em um intervalo, seja maior ou menor, este terá sua derivada nula.

[editar] T16 - Teorema de Rolle

Este teorema serve de base para outras demonstrações e observações, também sendo importante para conclusões ao longo do estudo.

Observe o gráfico:

Figura 3

Teorema de Rolle
Considerando uma função f(x) e um intervalo fechado [a,b], obedecendo as seguintes condições: I - é contínua em [a,b]; II - é derivável em (a,b); III - é diferenciavel e subentendida em (a,b); IV - Então é possível provar que existe pelo menos um número c no intervalo tal que:

Em decorrência do fato que a função gera dois valores iguais para a e para b, além de ser derivável, isto implica na existência de um número crítico c, entre estes dois pontos, visto que o teorema T15 demonstra este fato, além de afirmar que este extremo tem derivada nula, provamos que o teorema é valido para . Por outro lado se f(x) = 0 a derivada de f(c) também é nula, visto que f(x) − f(c) = 0 quando o limite é alcançado, portanto:

[editar] T17 - Teorema do valor médio para derivadas

Tomemos dois números em um intervalo fechado [a,b], quando uma função f(x) é contínua neste intervalo temos pelo menos um número c, o qual projeta sobre a imagem da função um valor f(c) de forma que a sua derivada é igual ao valor da declividade da reta entre os pontos {[a,f(a)];[b,f(b)]}.

A explicação deste fato é facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo, uma vez que a curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado e entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta, haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção à declividade do outro, neste caso a curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo a outro, de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela a reta definida pelos dois pontos citados.

Algebricamente:

O valor médio para derivadas
Se onde m é o coeficiente angular da reta determinada pelos valores a,b e seus conseqüentes na imagem da função: f(a),f(b). teremos:

[editar] Análises de declive e concavidade

Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto", uma vez que a tangente, nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano, apresenta uma distinção clara devido à mudança de sinal, isso possibilita uma boa gama de informações para a análise de seu comportamento e por conseqüência, da função que a originou.

[editar] T18 - Teste da derivada primeira

O coeficiente angular da reta que passa por um ponto da curva em uma função, nos revela uma tendência que varia conforme a tangente desta reta, tomando como referência o eixo x, quando a função é crescente os valores das derivadas para os mesmos, de x são sempre positivos, enquanto que quando a função é decrescente estes são sempre negativos. O que nos sugere o seguinte teste:

Teste da derivada primeira
Seja a função f(x) em um intervalo [a,b], dizemos que a função é crescente quando:
Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente: E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto:

É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma:

Se f(x) é contínua, existe tal que:

onde x_b > x_a.

Admitindo que o denominador é positivo, ou seja, que , nos resta analisar o sinal do resultado no numerador, se e portanto, quando a função é crescente no intervalo, teremos , por outro lado se f(x_b) < f(x_a) teremos uma função decrescente no intervalo e .

No último caso, se então a reta que passa pelo ponto [x;f(x)] é paralela ao eixo x, o que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência de crescimento da curva; explicando melhor: Se os valores da função estão crescendo e o ponto em questão tem derivada nula, ou a função atinge o maior valor no intervalo, ou atinge um ponto de transição na tendência de crescimento, passando de crescente para decrescente; quando a função está decrescendo passa de decrescente para crescente.

[editar] T19 - Teste da derivada segunda

Teste da derivada segunda
Seja a função f(x), dizemos que é a derivada segunda, com a qual podemos provar que: Dado o intervalo , onde existe um número :
Se então fornece o valor máximo no referido intervalo. Ainda poderemos afirmar que: Se então fornece o valor mínimo no referido intervalo.

Análise:

Consideremos a derivada segunda .

Tomando o valor de [(x₂ − x₁) > 0] podemos verificar o que ocorre com o numerador:

Se sabemos que a declividade da curva em f(x₂) é menor que a declividade de f(x₁), como em c temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um máximo, visto que os valores estão diminuindo quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores decrescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto f(c) apenas pode assumir o valor máximo no intervalo.

Se sabemos que a declividade da curva em f(x₂) é maior que a declividade de f(x₁), como em c temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um mínimo, visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores crescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto f(c) apenas pode assumir o valor mínimo no intervalo.

[editar] Concavidades

Temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações, a derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo e a relacionamos à concavidade em um intervalo da curva... Como a derivada segunda reflete a tendência de crescimento ou decréscimo da declividade, temos como verificar que o seu sinal indica se a concavidade do gráfico é para cima ou para baixo, ou seja:

Se   a concavidade da curva está voltada para cima. 

Devido ao fato de que há uma tendência de crescimento da declividade naquele intervalo.

Se  a concavidade da curva está voltada para baixo.

Devido ao fato de que há uma tendência de decréscimo da declividade naquele intervalo.

[editar] Pontos de inflexão

A inflexão é uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto, dizemos que o ponto onde a função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento, ou vice versa, é chamado de ponto de inflexão. De forma geral, quando a função passa de uma taxa de variação positiva: ou negativa: ou vice versa, ela passa por um ponto de inflexão.

Considerando o número crítico c, para uma função f(x), o ponto de inflexão é definido como aquele onde ocorre a inversão na tendência da declividade, ou seja, quando:

ou 

Também é possível demonstrar que:

O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função.

[editar] Esboço de gráficos

Podemos aplicar os conceitos aprendidos neste capítulo para fazer esboços de gráficos, a prática deste artifício se mostra muito útil na análise de evoluções de grandezas, especialmente nas áreas de física, química e engenharia.

Para obter o gráfico de uma função qualquer pode-se usar de várias estratégias, entre elas: tabela de valores, uso de Cálculo, uso de ferramentas computacionais ou calculadoras gráficas.

Para usar o método da tabela, basta que num plano cartesiano sejam plotados pontos do gráfico da função em pequenos intervalos, unindo-os depois com uma linha "suave". Esboçar um gráfico assim não é muito recomendado se não se sabe com antecedência qual é o comportamento da função, visto que grandes flutuações podem ficar ocultas entre um ponto e outro. Por exemplo, se uma função for periódica (como f(x) = cos(2πx), na figura ao lado) e o intervalo entre os valores for próximo ao do período dessa função (no caso, o período da função e o intervalo entre os pontos do domínio é 1), o esboço indicará uma função não periódica (g(x) = 1), mas constante, claramente um erro. Por isso quando se utilizar desse método se deve ter cuidado para não se equivocar.

Para utilizar o computador ou uma calculadora, além da necessidade de saber como lidar com esse instrumento é necessário que se tenha certeza de que a função a ser esboçada não gerará nenhum bug no instrumento. Valores muito pequenos ou muito altos podem, dependendo do software, criar erros apreciáveis, os quais serão transmitidos para o gráfico a ser construído. Algumas funções podem acabar sem partes do gráfico, já que o programa não calcula a fórmula inserida em uma parte do domínio, mesmo que exista, devido a falhas ou mesmo omissões no código do aplicativo. Sendo assim, antes de usar o método é bom ter conhecimento a respeito do formato do gráfico, até mesmo para evitar erros decorrentes de digitação.

Para se utilizar o cálculo é necessário lembrar dos teoremas já estudados e também de suas implicações. É importante lembrar que os números críticos verificados com o teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com a derivada segunda, podemos adotar uma notação indexada para identificá-los, assim temos: c₁ para o primeiro caso e c₂ para o segundo.

Para esboçar o gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raízes e o valor da função quando x é nula, além disso podemos verificar os pontos em que a função apresenta números críticos, extraindo a derivada primeira, a derivada segunda e resolvendo as equações: e , verificando os pontos onde as derivadas não existem; a partir de então podemos verificar as tendências de crescimento ou decaimento nos intervalos entre os números críticos, as raízes, pontos de inflexão e concavidades.

Obviamente, os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores, porém para a análise do comportamento da função e, em alguns casos, na visualização de formas geométricas, este método é bastante útil.

De um modo simplificado, pode-se estabelecer etapas para o esboço de gráficos com o uso de cálculo. 1. Expressar explicitamente a função a ser esboçada. 2. Calcular (algebricamente ou numericamente) as raízes da função, se existirem. 3. Procurar assíntotas horizontais, tomando o limite da função no infinito (tanto positivo quanto negativo) 4. Derivar a primeira vez e encontrar os pontos críticos da função (igualando a derivada a zero) 5. Derivar a segunda vez e testar os pontos críticos a fim de saber se são máximos ou mínimos locais (eventualmente globais) ou então se são pontos de inflexão. 6. Estudar o sinal da segunda derivada a fim de conhecer as concavidades da função original. 7. Representar as informações obtidas em um gráfico.

[editar] Integrais

Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.

Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em:

A Wikipédia tem mais sobre este assunto: Integral

[editar] Antiderivadas e antidiferenciais

Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:

Considere a função cuja derivada , então dizemos que F(x) é a antiderivada de , a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antidiferenciação, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.

Podemos então dizer:

A antiderivação é o processo pelo qual operamos a derivada de uma função 
para encontrar a sua exata função primitiva.

O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante.

A antidiferenciação, opera apenas os processos para dedução de um esboço da
função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: f(x) + C.

Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: derivadas de , mesmo que , ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos , que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.

[editar] Definições

Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função y = f(x) + C, então temos: , o que nos leva a algo muito interessante:

O que nos lembra:

Temos ainda que y = f(x) + C, fazendo-nos deduzir que precisamos operar:

Para encontrar y.

Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:

Onde (f) é a função e (d) é a diferencial da variável independente.

De forma mais completa a antidiferencial da função é:

onde C é a constante que define a função primitiva.

[editar] Operações básicas

A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos. Devido a complexidade que envolvem o processo, muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos; para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros.

[editar] T20 - Diferenciais

Integração de diferenciais
A diferencial dx ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:

Com C constante.

Comprovação:

De fato se :

[editar] T21 - Constantes

Integração de constantes
A constante c é operada como coeficiente da variável independente, de forma que sua antidiferencial é:

Comprovação:

Se fizermos: , teremos:

Conforme o teorema T13 - fator.

[editar] T22 - Adição

Integral da adição de funções
Se f(x) = g(x) + h(x) então:

Comprovação:

Se f(x) é o resultado da soma de duas antidiferenciais, logo:

1. Temos que admitir que g(x) e h(x) são diferenciais;
2. A soma de diferenciais admite que:
   1. Se g(x) = dm e h(x) = dn, temos: g(x) + h(x) = dm + dn
   2. Sendo, portanto, possível fazer: g(x) + h(x) = d(m + n)
   3. Além disso: Se (m + n) = p então, podemos fazer: f(x) = dp

Portanto, pela análise da reversibilidade, é possível constatar que a adição de duas antidiferenciais pode ser operada distributivamente, o que atesta a regra que expomos.

[editar] T23 - Variável com expoente constante (antidiferencial)

Antidiferencial da função com expoente constante
Seja a função f(x) = xn onde n é constante, sua antidiferencial é:
; onde:

Onde C é constante.

Comprovação:

[editar] T24 - Regra da cadeia para antidiferenciais

Regra da cadeia para antidiferenciais
Seja as funções f(u) e u = g(x), contínuas em seus domínios ou no intervalo a que se propõe a análise em questão. A antidiferencial da função composta f(u) com relação a x é:

Onde C é a constante que define a primitiva.

Comprovação:

Uma vez que:

u = g(x) , temos:

O que nos possibilita operar, por substituição:

, obtendo:

para definir a antiderivada, usamos a constante C:

O que comprova a regra.

[editar] Introdução a equações diferenciais

Considerando a questão da indefinição criada pela diferenciação, o processo de antidiferenciação traz uma conseqüência indesejável para o processo de equacionamento de diferenciais. Quando uma equação diferencial é proposta, a constante de antidiferenciação faz com que o processo de resolução seja bastante prejudicado, o que exige que tenhamos técnicas especiais para tentar resolvê-la. Faremos agora uma breve introdução aos conceitos de equações diferenciais, porém, o estudo completo do tema demanda um aprofundamento maior por parte dos interessados, ao longo dos nossos estudos teremos meios para simplificar o processo, embora que a solução de muitas equações diferenciais quando não são impossíveis exigem muito esforço e dedicação.

[editar] Diferenciais de primeira ordem

Seja a equação , a sua derivada é expressa como:

sendo uma constante arbitrária, definida pelas características das deduções que originaram a equação.

O que resulta na equação diferencial:

Esta equação é denominada: Equação diferencial de primeira ordem, visto que é originada de uma derivada primeira, o que permite facilmente separar as variáveis diferenciais. Por outro lado, como meio para reverter o processo de diferenciação, fazemos:

Com C constante; lembre-se que C é uma constante não definida, a constante original é .

Pelo exposto deduzimos que a equação assumirá a forma:

Porém, como C é uma constante indefinida, temos uma função ainda indefinida.

[editar] Constante antidiferencial

A constante resultante da indefinição na antidiferenciação é expressa na equação diferencial como observamos na seção anterior, para aumentar as possibilidades da análise, cosideremo-la como variável, ao fazer isto temos um comportamento interessante para a função resultante; quando atribuimos valores a esta variável temos uma equação para cada valor assumido pela mesma, se observarmos mais atentamente, descobriremos que o gráfico da função mantém a forma, porém varia a altura em relação ao eixo das abscissas (variável independente), ou seja, a equação antidiferencial fornece um conjunto de curvas, o que possibilita uma infinidade de valores.

O que definiria a escolha de uma constante em particular? A constante definirá qual a curva que obedece o comportamento espelhado pelos números que compõem a curva a ser escolhida. De fato basta um par ordenado definido dentro do conjunto de números que obedecem à equação e teremos a definição da função exata. Em várias áreas onde podemos utilizar estas equações temos a definição deste par ordenado a partir do comportamento dos números que são observados ou deduzidos, na maioria das vezes este par de números é chamado de estado inicial, pois estabelece o comportamento da equação quando os valores das variáveis são conhecidos inicialmente.

No nosso caso da seção anterior coseguimos a fórmula geral:

Certamente, podemos afirmar que:

Quando temos pois:

É uma afirmação fácil de ser encontrada, uma vez que conhecemos a equação original, porém se não a conhecemos, a observação e a dedução lógica devem ser usadas para encontrá-la. Algumas vezes podemos nos perguntar: Basta-nos conhecer o conjunto de equações ou precisamos de uma equação específica? O mérito desta questão deve ser avaliado de acordo com a necessidade da análise a ser feita, cabendo ao analista verificar quais são seus requesitos dentro do que se propõe a verificar.

[editar] A integral indefinida

Seja a antidiferencial:

Observamos que a mesma corresponde a uma operação sobre pequenas seções de área, pois f(x)dx corresponde a multiplicação de um segmento numérico de largura, dx, pela altura, o valor da função aproximada ao limite em cada ponto.

A operação da forma que se apresenta estende-se de a . Analisando qual a natureza desta operação, podemos tomar dois valores para dx, sejam: dx₁ e dx₂, sendo , quando analisamos este fato concluimos que a área do intervalo menor está dentro da área do maior, vemos que a operação comporta-se como uma soma de áreas, se somarmos todas as componentes de áreas ao longo da curva teremos uma área delimitada pela curva e o eixo x.

Chamamos esta operação de integral, seu símbolo é o mesmo da antidiferenciação, pois devido aos fatos acima introduzidos e ao teorema fundamental do cálculo, que discutiremos adiante, a operação de antidiferenciação pode ser chamada de integral indefinida.

[editar] A integral definida

Aprofundando o conceito de que há uma soma de pequenos segmentos de área para cada ponto em uma curva, podemos delimitar uma seção da curva, através da adoção de um intervalo, desta forma teremos uma área definida, a qual chamamos de integral definida. Antes de detalhar o processo para encontrar a referida área faz-se necessário a observação de conceitos que serão úteis para seu desenvolvimento, o próximo tópico abordará a somatória, um procedimento que facilitará o estudo das somas sucessivas que propomos analisar.

[editar] Somatórias

Considere a operação: , chamamos esta operação de somatória, ela é simbolizada pela letra grega sigma (Σ), utilizando a notação escrita como segue:

O significado deste símbolo é facilmente compreendido: A variável i é chamada de índice, o número n é a quantidade de parcelas, ocorre que, ao substituir estes valores na expressão a_i, fazemos de forma seqüencial, somando um valor ao anterior, como descrito na operação acima, o que resultará no valor final de U, pretendido na referida operação.

Propriedades

[editar] T25 - Constante

com c constante.

Comprovação:

n vezes.

[editar] T26 - Fator

com c constante.

Comprovação:

[editar] T27 - Adição

Comprovação:

[editar] T28 - Exclusão de termo antecedente

Comprovação

[editar] Definição da Integral de Riemann

O conceito de integral está ligado à necessidade de encontrar a área de curvas, as abordagens tomadas para solucionar o problema do cálculo de áreas curvas encontram sempre o mesmo resultado. Para não nos extendermos muito, faremos uma explanação do processo chamado: Integral de Riemann, o qual é um dos mais conhecidos.

Vejamos o gráfico abaixo:

Integral de Riemann

Figura 4

O gráfico mostra uma função sinuosa, se fizermos seções retangulares para imitar o contorno das curvas teremos uma maneira grosseira de calcular a área delimitada pela curva e o eixo x, uma vez que temos a possibilidade de aumentar a quantidade de retângulos, podemos aumentar a precisão dos nossos cálculos... Se fizermos com que o número de retângulos aumente numa tendência ao infinito, teremos o valor da área.

Consideremos a função do gráfico: y = f(x), a sua integral entre os valores de x: a e b é:

Chamamos o intervalo [a,b] de partição e simbolizamos como: Δ. Ao dividirmos o intervalo [a,b] em n "pedaços"(seções) temos a possibilidade de definir o tamanho de cada um, porém a regra de Riemann é mais flexível e estabelece que podemos ter pedaços de tamanhos diferentes, de forma que tenhamos apenas que estabelecer os valores de x tal que: . Uma vez que estabelecemos os valores dos x, podemos arbitrar um ponto intermediário entre eles para que seja o ponto onde definiremos o valor da função, este ponto será importante porque ele estabelecerá a altura do retângulo. O valor de x, que determinará o ponto da altura de cada retângulo é referenciado como (ξ), referenciamos estes pontos como: .

A base dos retângulos é Δx_n, onde os valores podem variar livremente, porém há sempre um retângulo que possui a maior base, que chamamos de norma da partição [a,b], simbolizada por .

Podemos somar todos os retângulos da partição, fazendo o cálculo aproximado da área, da seguinte maneira:

A integral é obtida quando fazemos os retângulos tão pequenos que poderemos considerar suas bases quase nulas, para isso podemos dividir a partição em pedaços de [a,b]:

O que nos permite delimitar a norma e definir a sua tendência a zero, também nos dá a possibilidade de definir a integral como:

[editar] Propriedades da integral definida

Algumas propriedades são observadas a partir dos conceitos expostos sobre a integral, são regras para simplificar algumas operações, mas que podem ser úteis para o estudo de teoremas que veremos em capítulos mais adiante, vejamos as propriedades e suas comprovações:

Sejam f(x) e g(x), funções contínuas no intervalo [a,b], podemos afirmar que:

[editar] T29 - Limites iguais

Comprovação:

Podemos observar que, ao tomarmos o intervalo [a,b], dividindo-o em n pedaços, teremos:

Sendo b = a teremos:

então:

Δ_ix = 0 e:

O que comprova o teorema.

[editar] T30 - Fator do integrando

Sendo K constante:

Comprovação:

que é igual a:

O que comprova o teorema.

[editar] T31 - Inversão dos limites

Comprovação:

Novamente tomando o intervalo [a,b], dividindo-o em n pedaços, teremos:

Portanto Δx é fator determinante do sinal. Se tomarmos a integral no intervalo [a,b] e invertermos a sua posição no cálculo, teremos:

Logo, tomando como Δx é igual a tomar como − Δx.

O que comprova o teorema.

[editar] T32 - Adição

Comprovação:

Sendo a integral:

logo:

O que comprova o teorema.

[editar] T33 - Seções complementares

Sendo c constante e a < c < b:

Comprovação:

Tomando o intervalo entre a e c e fazendo a relação:

e

O Δ é um valor que pode ser atribuído às duas relações, portanto podemos fazer:

Que é semelhante a propriedade da soma das áreas de dois objetos que formam um corpo maior, que costumamos usar na geometria e que prova o teorema.

[editar] T34 - Valor médio

Seja a seção [a,b] no domínio da função f(x), dizemos que M é o valor médio da função neste intervalo, sendo seu valor definido como segue:

Comprovação

O valor médio de uma função é expresso pela função abaixo:

Onde v_i representa um valor em particular. Sendo f(ξ_i) o valor da função para cada retângulo, podemos fazer a sua média da seguinte forma:

Por outro lado, podemos fazer com que o n seja:

logo:

Uma vez que o Δx é um valor muito grosseiro, podemos encontrar o limite quando a norma da partição tende a ser nula, desta forma:

O que comprova o teorema.

[editar] T35 - Teorema fundamental do cálculo

Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b], a sua integral definida entre a e b é obtida pela operação que segue:

Onde:

Chegamos ao ponto culminante deste estudo inicial sobre as integrais, este teorema, chamado de Teorema fundamental do cálculo, é a base de nossas análises mais específicas nos próximos capítulos, ele afirma que a integral definida pode ser obtida através da antidifererncial da função, para tal, adotamos a seguinte notação :

Comprovação:

Devemos demonstrar que a derivada de é igual a f(x).

Como podemos observar, quando calculamos o valor da integral definida, variamos o limite superior gradativamente de a até b, isto nos indica que podemos criar uma nova função, como escrito abaixo:

Observe que x é dita independente de u, pois a última constroi a curva da função, enquanto que a outra nos dá a integral de qualquer ponto com relação a distância da contante a, portanto, calculando sua derivada temos:

Conforme o teorema T34, a parte da equação operada pelo limite é um valor médio.

Observe que , ou seja, é o limite do valor médio quando o intervalo tende a ser nulo, o que resulta em f(x), pois é equivalente a fazer uma média com apenas um elemento, o próprio valor de f(x). Observemos ainda que o valor médio, aqui expresso, não é constante, visto que depende de x, o que quer dizer que temos um valor médio para cada seção da curva.

O valor médio dos valores entre f(x) e f(x + Δx) no mínimo é feito com os dois extremos apresentados, da seguinte forma:

e

no limite:

resulta:

.

Portanto F(x) é antidiferencial de f(x).

Por outro lado ao fazer:

então: g(x) = F(x) que é a antidiferencial de f(x), logo:

O que comprova o teorema.

O estudo das funções deste capítulo refere-se às funções não puramente algébricas, relacionadas a números transcendentais, algumas das quais já conhecemos da matemática elementar, porém é necessário um aprofundamento do tema para o ambiente acadêmico, onde temos que lidar com análises mais detalhadas e complexas.

[editar] Logarítmicas

A integral da função algébrica f(x) = xⁿ traz uma indefinição quando n = − 1:

A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: ? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão:

A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de número de Euler, ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função , que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico.

Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano.

[editar] Teoremas

Vejamos os principais teoremas para os logaritmos:

Nas citações abaixo, consideremos f(x) = lnx,

[editar] T36 - Produto

Comprovação:

Da definição:

fazendo u = at,du = adt e quando u = a,t = 1:

O que comprova o teorema.

[editar] T37 - Razão

Comprovação:

Sendo :

logo:

[editar] T38 - Potência

Comprovação:

Sendo:

-> b vezes, que é:

-> b vezes, resultando:

[editar] Derivadas

Da definição do logarítmo natural e a partir do teorema fundamental do cálculo, podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se f(x) = lnx que é a integral definida de , então a derivada é:

[editar] Integrais

Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Exponenciais

A função f(x) = a^x é chamada de função exponencial na base a, todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ln x como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja:

Se log_ab = x

então:

a^x = b

O que implica b = f(x), tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a x e obter uma imagem. O número a é chamado base, este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função lnx ?

Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, o número de Euler.

[editar] O número de Euler

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: , quando seu valor é unitário, ou seja:

lne = 1,

mais formalmente:

O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo (Volume 3).

A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:

Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.

De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:

Se f(x) = lnx então , logo:

Por outro lado, pela definição:

Para :

Sendo: e

Concluimos que:

[editar] Teoremas

A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:

[editar] T39 - Soma

Seja a função f(x,y) = e^{x + y}, pode-se afirmar que:

Comprovação:

Considerando: e ,

logo:

e^{x + y} = ab

sendo: a = e^x e b = e^y,

O que comprova o teorema.

[editar] T40 - Subtração

De forma similar à análise anterior, sendo a função f(x,y) = e^{x − y}, pode-se afirmar que:

Comprovação:

Considerando: e ,

logo:

sendo: a = e^x e b = e^y,

O que comprova o teorema.

[editar] T41 - Potência

Seja a função , pode-se afirmar que:

f(x,y) = e^xy

Comprovação:

f(x,y) = (e^x)^y

O que comprova o teorema.

[editar] Derivadas

Consideremos que f(x) = e^x, e conseqüentemente: x = lnf(x), se derivarmos implicitamente este expressão:

Curiosamente, teremos:

Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções.

Por outro lado se f(x) = a^x, temos que:

a = e^lna

Fazendo e f(x) = e^u, teremos:

Se , concluimos que:

Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.

[editar] Integrais

Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural f(x) = e^x é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.

Desta forma, temos:

, 

Sendo C constante.

[editar] Logarítmicas com outras bases

Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:

Se então,

Onde: a é chamada base do logaritmo, x é o logaritmando e n é o expoente.

O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número x.

A função logarítmica de base a pode ser expressa da seguinte forma:

O que nos possibilita encontrar um valor para cada x expresso na equação.

[editar] Mudança de base

Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base a e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:

Seja a função , podemos dizer que:

e que ,

como: ,

,

,

,

O que nos possibilita afirmar que:

,

ou

.

Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir por sendo z a base que substituirá e na análise anterior.

O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: a e b, podemos promover a troca das bases, de forma que:

[editar] Derivadas

A derivada da função logarítmica com base diferente de e pode ser feita por substituição da base. Considerando f(x) = log_ax, temos que:

,

,

logo:

Que nos dá a derivada:

[editar] Trigonométricas I

A trigonometria, tal qual vista na matemática elementar, está relacionada com as relações métricas do triângulo retângulo e do ciclo trigonométrico, agora introduziremos o estudo infinitesimal das funções trigonométricas que são largamente utilizadas nas ciências exatas.

[editar] Conceitos básicos (Radianos)

Em um plano definido pelos eixos x e y podemos estabelecer coordenadas cartesianas para cada ponto, o que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posição do plano, existe outra maneira de encontrar um ponto neste plano; se quisermos estabelecer uma relação triangular podemos determinar a posição de cada ponto no plano da seguinte forma:

Figura 5

Imagine que cada ponto está numa distãncia R do ponto (0,0) em um plano cartesiano definido por pontos , da mesma forma a reta R, que é definida entre os pontos , forma um ângulo com o eixo x, que chamaremos de , note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano a partir de uma reta R e um ângulo .

Observemos que R, quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto , se fizermos variar em todos os valores possiveis teremos uma circunferência. Quando fazemos o valor de R variar teremos diferentes valores de x e y, porém a relação entre eles sempre será a mesma.

Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado PI, representado pela letra grega de mesmo nome: . Resgatando esta relação para a nossa análise podemos dizer que, se chamarmos o perímetro da circunferência, formada no gráfico, de e admitirmos um diâmetro de , então teremos:

Que resulta em:

Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para l, que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que R se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo x em direção a y, formando um ângulo , teremos pedaços de circunferência, que chamamos de arcos, considerando que temos um raio unitário e que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo "" que tomamos, temos uma correspondência entre ângulo e arco, ou seja: podemos nos referir a arcos como unidades de ângulos, esta unidade angular é chamada de Radiano. Qualquer círculo forma radianos e todas as relações entre os pontos da circunferência que o contorna e os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida.

Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal negativo ou positivo neste valor?

Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo x em direção ao ponto o ângulo cresce, portanto temos que concluir que é positivo, recuando-o de encontro ao eixo x os valores diminuem, portanto se ultrapassarmos o eixo x o valor deve ser menor que zero, nos revelando um ângulo negativo.

[editar] Seno e cosseno

Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio R e ao ângulo , são referenciados pelas variáveis x e y no mesmo plano, agora imaginemos funções para que seja possível a partir do raio e do ângulo encontrar as variáveis, estas funções são o seno e o cosseno.

A função seno, simbolizada como:

Nos dá o valor da variável y, ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo y, quando o raio R é unitário, caso não seja fazemos .

A função cosseno, simbolizada como:

Nos dá o valor da variável x, ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo xquando o raio R é unitário, caso não seja fazemos .

As funções seno e cosseno são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em x maior que temos a representação de um ciclo completo mais um ângulo residual, na verdade o valor representa este ângulo residual, o que nos leva a constatação que sempre será calculado o valor do seno ou cosseno do resto da operação quando um ângulo maior que 2π for sugerido para x.

Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou para representação de seno e cosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles:

Senos e cossenos notáveis

Ângulo	0
	0	1	0	-1
	1	0	-1	0

Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja:

sendo ,

enquanto que:

Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são:

Senos e cossenos mais comuns

Ângulo

[editar] Identidades (1)

As equações desta seção são conseqüência das características dos senos e cossenos, seu comportamento cíclico e sua relação com uma circunferência de raio unitário lhes conferem uma excelente operatividade, possibilitando-nos fácil intercâmbio entre as mesmas.

[editar] I-1 Identidade relacional básica

As funções seno e cosseno estão relacionadas pela equação:

Comprovação:

Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: e cos(a) e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras.

[editar] I-2 Cosseno da soma

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua soma é^[1]:

Comprovação:

Nos pontos A e B do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos a e b:

Figura 6

A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre -A e B, o quadrado das duas é:

Da identidade básica:

Como e  :

O que comprova a identidade.

[editar] I-3 Cosseno da diferença

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua diferença é^[2]:

Comprovação:

Do cosseno da soma:

Substituindo b por -b:

O que comprova a identidade.

[editar] I-4 Equivalência angular

Se o ângulo a é e b é x, então:

logo:

Por outro lado, se:

e

, obtemos:

[editar] I-5 Seno da soma

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua soma é^[3]:

Comprovação:

Sendo e , temos:

O que comprova a identidade.

[editar] I-6 Seno da diferença

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua diferença é^[4]:

Comprovação:

Se ,

Substituindo b por -b, temos:

e enquanto que , logo:

O que comprova a identidade.

[editar] I-7 Produto de dois senos

Sejam os ângulos a e b, o produto de seus senos é^[5]:

Comprovação:

Considerando a identidade do cosseno da diferença de dois ângulos e subtraindo de cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da soma de dois ângulos:

O que comprova a identidade.

[editar] I-8 Produto de dois cossenos

Sejam os ângulos a e b, o produto de seus cossenos é^[6]:

Comprovação:

Considerando a identidade do cosseno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da diferença de dois ângulos:

O que comprova a identidade.

[editar] I-9 Produto de seno e cosseno

Sejam os ângulos a e b, o produto do seno de a pelo cosseno de b é^[7]:

Comprovação:

Considerando a identidade do seno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do seno da diferença de dois ângulos:

O que comprova a identidade.

[editar] I-10 Soma de dois senos

Sejam os ângulos p e q, a soma dos senos de p e de q é:

Comprovação:

Podemos dizer que:

substituindo na identidade:

O que comprova a identidade.

[editar] I-11 Soma de dois cossenos

Sejam os ângulos p e q, a soma dos cossenos de p e de q é:

Comprovação:

Seguindo a analogia anterior:

O que comprova a identidade.

[editar] I-12 Diferença de dois senos

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos senos de p e de q é:

Comprovação:

substituindo q por -q em:

O que comprova a identidade.

[editar] I-13 Diferença de dois cossenos

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos cossenos de p e de q é:

Comprovação:

substituimos q e q, por e em:

O que comprova a identidade.

[editar] Limíte trigonométrico fundamental

Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir:

Figura 7

A figura 7 mostra a representação de um ângulo no ciclo trigonométrico, o nosso propósito é deduzir o seguinte limite:

Para isto, imagine o triângulo inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta n é uma aproximação grosseira do arco , porém observe que quando o ângulo se aproxima de zero o segmento se torna mais parecido com o respectivo ângulo, algébricamente podemos expressar que:

Por outro lado façamos o cálculo do valor do n; observando o triângulo podemos dizer que:

Logo:

Simplificando temos:

Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma:

Substituindo o valor do seno no lado da equação relaciondado ao n, teremos:

O que nos leva ao resultado:

A interpretação desse limite é a seguinte:

Uma vez que o ângulo diminui até valores próximos de zero e o arco tende a se assemelhar a uma reta em regiões próximas do zero, o valor do seno é igual ao valor do arco no limite, quando o seu valor se aproxima de ser nulo.

[editar] Derivada do seno

Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos:

Aplicando o seno da soma:

Aplicando os limites:

Temos, então, o limite fundamental que é igual a 1, logo:

[editar] Derivada do cosseno

Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos:

Aplicando o seno da soma:

Aplicando os limites:

Novamente temos o limite fundamental, logo:

[editar] Integral do seno

Como conseqüência do resultado da derivada do seno, podemos deduzir que a sua integral, como operação inversa é:

Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação, conforme já estudamos anteriormente.

[editar] Integral do cosseno

Segundo o mesmo princípio colocado no caso da integral do seno, podemos afirmar que a operação de integração do cosseno é definida por:

Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação

[editar] Trigonométricas II

Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.

[editar] Tangente e secante

Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois excencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por e o valor inicial (Δx) é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:

que é:

Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou para representação de tangente e secante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?

Para definir h, a hipotenusa, façamos :

Da identidade relacional temos:

portanto:

Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:

Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.

[editar] Identidades (2)

Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.

[editar] I-14 Relacionando tangente e secante

Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre podemos afirmar que:

Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.

[editar] I-15 Tangente da diferença

Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:

Comprovação:

Considerando a definição da tangente temos:

Resultando em:

O que comprova a identidade.

[editar] I-16 Tangente da soma

Comprovação:

Admitamos b = − b e teremos pela tangente da diferença:

Considerando que a tangente é:

E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:

O que comprova a identidade.

[editar] Derivada da tangente

Seja , uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

logo, pela derivada da razão:

Portanto:

[editar] Derivada da secante

Seja f(x) = sec(x), uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

logo, pela derivada da razão:

O que nos revela:

[editar] Integral da tangente

Seja a função , definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:

Por outro lado, se:

O que nos possibilita afirmar que:

Portanto:

[editar] Integral da secante

Seja a função f(x) = sec(x), dizemos que sua integral é a função F(x) e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:

multiplicando e dividindo :

Por outro lado, se:

,

logo, por substituição, temos:

, sendo , o que nos permite fazer:

F(x) = ln | u |

Portanto:

[editar] Cotangente e cossecante

Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:

Figura 8

Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.

Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:

O que nos revela:

Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou para representação de cotangente e cossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:

Que define a cossecante como:

[editar] Identidades (3)

Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.

Conseqüentes das definições:

[editar] Derivada da cotangente

Seja a função , considerando que:

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

Portanto:

[editar] Derivada da cossecante

Seja a função , considerando que:

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

Portanto:

[editar] Integral da cotangente

Seja a função , considerando que:

Sua integral é:

Sendo :

du = cos(x)dx

Logo:

E, por substituição:

[editar] Integral da cossecante

Seja a função ,

Sua integral é:

Sendo :

Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:

Logo:

E, por substituição:

[editar] Inversas das trigonométricas

O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?

A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a arcfunc(x) é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.

[editar] arcseno e arccosseno

Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:

1. O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em , portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.

O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: , podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: também apresenta valores únicos para cada arco tomado.

Assim, dizemos que:

Da mesma forma que:

Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou ou ou ainda para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

[editar] Derivadas do arcseno e arccosseno

Seja a função , sendo a sua inversa:

,

podemos operá-la desta forma:

dx = cos(y)dy

,

Por outro lado:

O que nos dá:

,

Logo:

Ainda temos que a função , sendo a sua inversa:

x = cos(z),

podemos operá-la desta forma:

,

Por outro lado:

O que nos dá:

,

Logo:

[editar] Integrais do arcseno e arccosseno

Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Arctangente e arccotangente

Definimos a função:

y = arctg(x),

arctangente de x, como a inversa da função:

x = tg(y), 

Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou ou ou ainda para representação de arctangente e arccotangente respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

tangente de y, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.

Do mesmo modo podemos definir a função:

z = arccotg(t),

arccotangente de t, como a inversa da função:

t = cotg(z),

cotangente de z, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.

[editar] Derivadas da arctangente e arccotangente

Seja a função y = arctg(x), sendo a sua inversa:

x = tg(y),

podemos operá-la desta forma:

dx = sec²(y)dy

,

Por outro lado:

sec²(y) = 1 + tg²(y)

sec²(y) = 1 + x²

O que nos dá:

,

Logo:

Ainda temos que a função z = arccotg(x), sendo a sua inversa:

x = cotg(z).

Por outro lado:

O que nos dá:

,

Logo:

[editar] Integrais da arctangente e arccotangente

Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Arcsecante e arccossecante

Definimos a função:

,

arcsecante de x, como a inversa da função:

, 

Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou ou ou para representação de arcsecante e arccossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

secante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função é relacionada a função como segue:

Do mesmo modo podemos definir a função:

,

arccosecante de t, como a inversa da função:

,

cosecante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função é relacionada a função como segue:

[editar] Derivadas da arcsecante e arccossecante

Seja a função:

que tem correspondência em:

Sendo:

Portanto:

para  | x |  > 1

[editar] Integrais da arcsecante e arccossecante

Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Trigonométricas inversas como integrais algébricas

Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:

Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.

[editar] hiperbólicas

A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais e^x e e ^{− x}, as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.

As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.

[editar] Seno e cosseno hiperbólicos

A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole , onde encontramos:

A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:

Sendo obtida de forma similar a anterior.

O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente e^x e uma exponencial decrescente e ^{− x} lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.

[editar] Relacionando seno e cosseno hiperbólico

Considere a operação: ,

Da definição temos:

logo:

[editar] Derivada do seno hiperbólico

Seja a função seno hiperbólico , podemos dizer que:

sendo:

Portanto:

[editar] Derivada do cosseno hiperbólico

Seja a função cosseno hiperbólico y = cosh(x), podemos dizer que:

sendo:

Portanto:

[editar] Integral do seno hiperbólico

A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

Concluimos que:

[editar] Integral do cosseno hiperbólico

A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

Concluimos que:

[editar] Tangente e secante hiperbólicas

Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:

ou

A secante hiperbólica é definida como:

ou

[editar] Relacionando tangente e secante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

Portanto:

[editar] Derivada da tangente hiperbólica

Seja a função , temos:

Portanto:

[editar] Derivada da secante hiperbólica

Seja a função , temos:

e finalmente:

[editar] Integral da tangente hiperbólica

Seja a função , temos:

Se fizermos:

u = cosh(x)

verificamos:

F(x) = ln | u |

e finalmente:

[editar] Integral da secante hiperbólica

Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Cotangente e cossecante hiperbólicas

A cotangente hiperbólica é definida como:

ou

A cosecante hiperbólica é definida como:

ou

[editar] Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

Portanto:

[editar] Derivada da cotangente hiperbólica

Seja a função , temos:

Portanto:

[editar] Derivada da cossecante hiperbólica

Seja a função , temos:

e finalmente:

[editar] Integral da cotangente hiperbólica

Seja a função , temos:

Se fizermos:

du = cosh(x)dx

verificamos:

F(x) = ln | u |

e finalmente:

[editar] Integral da cossecante hiperbólica

Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

[editar] Inversas das hiperbólicas

As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.

[editar] Análise da inversão das variáveis

As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:

y = funch(x),

Para a forma:

x = argfunch(y)

Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo senh(x), que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.

É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

[editar] argsenh e argcosenh

Agora consideremos a função , então:

Podemos fazer e^x = u, logo:

O que resulta na equação:

u² − 2tu − 1 = 0

cujas raízes são:

Podemos apenas admitir: u > 0, consequentemente:

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de senh(x) que é:

No caso de , a dedução é similar:

Podemos fazer e^x = u, logo:

O que resulta na equação:

u² − 2tu + 1 = 0

cujas raízes são:

Podemos apenas admitir: u > 0, consequentemente:

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de cosh(x) que é:

,    | x |  > 1

[editar] Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)

Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:

de onde deduzimos:

resultando:

E para

de onde deduzimos:

e finalmente:

,    | x |  > 1

[editar] Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

[editar] argtgh e argsech

Considerando , temos:

se u = e^x:

o que resulta na equação:

(t − 1)u² + t + 1 = 0

Cujas raizes são:

Onde apenas podemos admitir u > 0 e t < 1:

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da , portanto:

,     | x |  < 1

Ou,

,     | x |  < 1

Considerando , temos:

se u = e^x:

o que resulta na equação:

tu² − 2u + t = 0

Cujas raízes são:

Onde apenas podemos admitir u > 0 e 0 < t < 1:

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da sech(x), portanto:

,   0 < x < 1

[editar] Derivadas de argtgh e argsech

Seja , | x | < 1

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:

,    | x |  < 1

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

Seja ,

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:

[editar] Integrais de argtgh e argsech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

[editar] argcotgh e argcosech

Considerando , temos:

se u = e^x:

o que resulta na equação:

(1 − t)u² − t − 1 = 0

Cujas raizes são:

Onde apenas podemos admitir u > 0 e t < 1:

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da , portanto:

,    | x |  > 1

Ou,

,    | x |  > 1

Considerando , temos:

se u = e^x:

o que resulta na equação:

tu² − 2u − t = 0

Cujas raízes são:

Onde apenas podemos admitir u > 0:

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da cosech(x), portanto:

[editar] Derivadas de argcotgh e argcosech

Seja , | x | > 1

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:

,    | x |  > 1

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.

Seja ,

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:

,   

[editar] Integrais de argcotgh e argcosech

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

[editar] Considerações iniciais

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor os processos de integração e as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação destes processos.

[editar] Por partes

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

d(uv) = udv + vdu

Que após a antidiferencial se torna:

E, portanto:

A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.

Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:

Se ,

Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.

[editar] Exemplo 1 - Caso do logaritmo

Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:

Separamos a diferencial dx e a primitiva ln(x), procedendo as operações inversas:

depois:

u = ln(x)

Aplicando à fórmula de integração por partes:

Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:

Sendo C a constante de antidiferenciação.

[editar] Exemplo 2 - Caso do arcseno

Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:

Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:

depois:

u = arcsen(x)

Aplicando à fórmula da integração por partes:

agora consideremos o seguinte:

z = 1 − x²

dz = − 2xdx

logo:

Portanto:

Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.

[editar] Exemplo 3 - Caso do arccosseno

Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:

Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:

depois:

u = arccos(x)

Aplicando à fórmula da integração por partes:

agora consideremos o seguinte:

z = 1 − x²

dz = − 2xdx

logo:

Portanto:

Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.

[editar] Exemplo 4 - Caso do arctangente

Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente:

Separando as partes e operando as inversas:

e

Aplicamos a fórmula da integração por partes:

Por outro lado:

u = 1 + x²

onde podemos extrair:

voltando ao desenvolvimento da integral:

Portanto:

Novamente, temos C como contante de antidiferenciação.

[editar] Exemplo 5 - Algébricas com exponenciais

Este é um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes:

Considerando as partes:

u = x²

du = 2xdx

e:

v = e^x

Substituindo na fórmula de integração por partes:

O segundo lado desta expressão pode ser novamente simplificado, aplicando a integração por partes mais uma vez:

x²e^x − 2xe^x + 2e^x

Portanto:

[editar] Exemplo 6 - Secante com expoente maior que 2

Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2:

Podemos fazer:

E aplicar a integração por partes:

E finalmente:

Com C constante.

[editar] Por substituição trigonomética

A existência de relações algébricas que nos levam a arcos nos traz a possibilidade de converter uma expressão algébrica, conseqüentemente uma função algébrica, em uma função trigonométrica. A possibilidade de lidar com certas funções de forma trigonométrica nos traz a possibilidade de utilizar os artifícios das identidades para a simplificação dessas funções.

[editar] Transformando expressões algébricas em trigonométricas

Três funções algébricas têm semelhanças com funções trigonométricas que são notoriamente úteis para a simplificação de algumas funções, elas são:

Sendo "a" constante.

Note que as expressões são meramente relações quadráticas que descendem da relação quadrática entre todos os lados de um mesmo triângulo: a² = b² + c², se escolhermos um par (variável,constante) e substituirmos na equação teremos as expressões acima como resultantes, teremos uma variável dependente para cada par (variável,constante), por exemplo: se fizermos b = x, c = constante(a) e a = y teremos a expressão (2) como resultante (y).

Imagine que temos uma nova variável θ e que:

Sendo:

Podemos dizer que:

Portanto:

 quando  e 

O exposto acima encontra respaudo no fato de que a expressão é simplesmente a tradução da relação métrica de um triângulo retângulo para definição do cosseno a partir do seno, como segue:

Se fizermos a comparação entre as funções e o gráfico acima, substituindo as variáveis e constantes de acordo com a função dada, teremos o seguinte:

1. Na função é uma tangente;
2. Na função é um seno;
3. Na função é uma secante.

O que nos dá as substituições:

Expressão	Substituição

[editar] A substituição trigonométrica na integração

Agora, considere o fato de que a função tem como integral a função F(x), então podemos fazer:

Uma vez, que pela análise anterior já sabemos que quando fazemos x = asen(θ) temos:

então:

Temos que encontrar dx:

O que nos revela algo interessante:

Ou seja:

F(θ) = θ + C

Logo:

[editar] Exemplo 7 - Substituição por seno

Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:

Fazendo a transformação de variáveis:

A integral será:

F(θ) = θ

Como:

x = 2sen(θ)

Portanto:

Sendo C a constante de antidiferenciação.

[editar] Exemplo 8 - Substituição por secante

Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:

Se

Introduzimos a variável angular θ, de forma que:

x = 3sec(θ)

e sua diferencial:

dx = 3sec(θ)tg(θ)dθ

Substituindo na equação anterior:

Retornando a função ao domínio da variável x:

Portanto:

Sendo C a constante de antidiferenciação.

[editar] Exemplo 9 - Substituição por tangente

Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:

Se

Introduzimos a variável angular θ, de forma que:

x = 4tg(θ)

e sua diferencial:

dx = 4sec²(θ)dθ

Substituindo na equação anterior:

Retornando a função ao domínio da variável x:

Portanto:

Sendo C a constante de antidiferenciação.

[editar] Funções racionais com denominadores lineares

Denominadores de segundo grau ou mais são um pouco mais problemáticos quando queremos definir uma integral, por exemplo:

Seja a função:

É possível demonstrar que a função pode ser fatorada da seguinte forma:

Onde A e B são os fatores a serem definidos; o processo para definí-los será explicado mais adiante e r₁,r₂ são as raizes da equação formada a partir do denominador quando o igualamos a zero.

Porém a demonstração disto está fora do escopo deste livro, deve ser tratado na algebra avançada.