Cálculo (Volume 1)/Derivadas

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Índice

[editar] Derivadas

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia.

Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como estão fundamentados os princípios de derivação. Com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal (das pequenas variações).


[editar] Introdução (coeficientes angulares)

Seja uma reta definida pelos pontos (x1,y1) e (x2,y2). Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:

m\ =\ \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\,\!

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (da variável independente), pois quanto maior for o coeficiente angular de uma reta, mais próximo ela estará de ser uma reta vertical.

O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta fixada, e é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x.

Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva... Em uma função para a qual os pontos do gráfico não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo. Isto se deve ao fato de que a inclinação varia ao longo da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.

Considerando uma função f(x), teríamos sobre o seu gráfico os pontos:

\left( x_1,f(x_1) \right)\,\!

\left( x_2,f(x_2) \right)\,\!

Podemos denotar a distância de x1 até x2 por \Delta x\,\!, e deste modo:

x_2=x_1+\Delta x\,\!

Logo, teríamos:

m=\frac {f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x} \,\!

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta ligando um ponto (x,f(x)) a outro estabelecido pela distância Δx, que nos fornece: (x + Δx,f(x + Δx)). Imaginando que o gráfico da função seja uma "curva suave", podemos, a partir da equação anterior, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuímos o módulo de Δx a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiente angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analisar mais segmentos da curva.


[editar] Definição

Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo coeficiente angular m, como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva...

Observe a figura a seguir, que mostra o gráfico da função f(x) = 2 + \sqrt[3]{x - 3} + \frac{x - 3}{10}, e algumas retas secantes, passando pelo ponto (x,y), onde x = 2 e y = f(x).:

Retas secantes ao gráfico de uma função.svg Figura 2

Podemos constatar que a função tem as seguintes características:

  • A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre (x,y) e (x1,y1);
  • A função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo.

Dada uma sequência de pontos (x1,y1), (x2,y2), (x_3,y_3), \ldots cada vez mais próximos de x, traçamos as retas r1, r2, r_3, \ldots partindo do ponto (x,y) fixado e passando pelos pontos correspondentes na sequência. Desta forma, podemos observar que, no caso da sequência apresentada na ilustração:

  • A reta r1 possui uma inclinação maior que r2;
  • Esta última possui uma inclinação maior que r3;

Além disso, observamos ainda que:

  • Quase não se consegue distinguir a reta r3 do gráfico da função nas vizinhanças do valor x de seu domínio, ou seja, esta reta parece uma boa aproximação da função f em torno de x.

O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas secantes se aproximam da inclinação de uma "reta tangente" ao gráfico da própria função no ponto (x,y), a medida que diminui a distância entre um ponto xi da sequência e seu limite x.

Vemos então que uma maneira de tornar a inclinação da reta mais próxima da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se tomarmos uma sequência de pontos xi que ficam cada vez mais perto de x, o resultado é que a partir de algum momento, os pontos tomados para o cálculo de m estarão tão próximos que cada um se tornará quase idêntico ao seguinte. Uma vez que se obteve um valor de m para cada ponto da sequência, gostaríamos de definir a inclinação de f em x0, ou pra ser mais preciso, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (x0,f(x0)), como sendo o limite:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} m(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Uma vez que tenhamos um valor deste limite para cada valor de x de um certo conjunto, podemos criar uma nova função, que chamamos de função derivada de f, associando cada x deste conjunto (o domínio da função derivada) com o correspondente f'(x) (a inclinação de f neste ponto x). A nova função é obtida através dos valores de f(x), esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade de uma outra função em cada ponto é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é a derivada da primeira.

A diferença entre os valores de x1 e x2, quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial dx e a diferença entre os valores de y1 e y2, quando o diferencial dx é levado ao limite, é chamada de diferencial dy:

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\mbox{d} y}{\mbox{d} x}

Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais (usando as diferenças entre xi e x), neste caso dy e dx.


[editar] Diferenciabilidade

Para que as diferenciais e por consequência, a derivada de uma função em um determinado ponto possam existir, certas condições devem ser cumpridas pela função. Verifica-se a partir da definição de f'(x) que:

  • Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir (verifique!);
  • A função deve estar definida no ponto e seu valor ser igual ao limite;

Isso nos lembra a definição de continuidade. De fato, as condições acima significam que quando a função é diferenciável em um ponto, ela é também contínua no ponto.

O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do \lim_{x \to 0} \left[ f(x + \Delta x) - f(x) \right] nestes casos.

Portanto, podemos em primeiro lugar verificar a continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável: se esta não for contínua temos condições de afirmar que a mesma não é diferenciável.


[editar] Regras básicas

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas são consequências da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite que aparece na definição e dos teoremas sobre limites de funções.

[editar] T7 - Soma e subtração

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Derivada da soma e subtração
Seja a função F(x)=f(x) \pm g(x)\,\!; sua derivada é:
F'(x) = f'(x) \pm g'(x) \,\!.

Demonstração:

Pela definição temos:

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) \pm g(x+ \Delta x)-f(x) \mp g(x)}{\Delta x}

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) - f(x) \pm g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}

e portanto:

F'(x) = f'(x) \pm g'(x)

[editar] T8 - Multiplicação

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Derivada da multiplicação
Seja a função F(x)=f(x) \cdot g(x) \,\!, então sua derivada é:
F'(x)=f(x) \cdot g'(x)\ +\ g(x) \cdot f'(x) \,\!.

Demonstração:

Pela definição temos:

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) \cdot g(x+ \Delta x)-f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}

Somamos e subtraímos g(x + \Delta x) \cdot f(x) na equação anterior:

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) \cdot g(x + \Delta x)- g(x+ \Delta x) \cdot f(x)+ g(x+ \Delta x ) \cdot f(x)-f(x) \cdot g(x)}{\Delta x}

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\left[f(x+ \Delta x) - f(x) \right] \cdot g(x + \Delta x ) + f(x) \cdot \left[g(x+ \Delta x )- g(x) \right]}{\Delta x}

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ \left[g(x)+ \Delta x \right] \cdot \left[f(x+ \Delta x) - f(x) \right]}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x) \cdot \left[g(x + \Delta x) - g(x) \right]}{\Delta x}

F'(x)= g(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x)- g(x)}{\Delta x}

e portanto:

F'(x)=f(x) \cdot g'(x)\ +\ g(x) \cdot f'(x) .

[editar] T9 - Razão

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Derivada da razão
Seja a função F(x)= \frac{f(x)}{g(x)} \,\!, então sua derivada é:
F'(x)= \frac{g(x) \cdot f'(x)\ -\ f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \,\!.

Demonstração:

Pela definição temos:

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ \frac{f(x+ \Delta x)}{g(x+ \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ f(x+ \Delta x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+ \Delta x)}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x) \cdot \Delta x}

Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair f(x) \cdot g(x) , o que nos dá:

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ f(x+ \Delta x) \cdot g(x) -f(x) \cdot g(x) +f(x) \cdot g(x)- f(x) \cdot g(x+ \Delta x)}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x) \cdot \Delta x}

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ g(x)\cdot \left[f(x+ \Delta x) -f(x) \right] - f(x) \cdot \left[g(x+ \Delta x)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x) \cdot \Delta x}

F'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ g(x)\cdot \left[\frac{f(x+ \Delta x) -f(x)}{\Delta x} \right] - f(x) \cdot \left[\frac{g(x+ \Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right]}{g(x) \cdot g(x+ \Delta x)}

Depois que aplicamos os limites, resulta em:

F'(x)= \frac{g(x) \cdot f'(x)\ -\ f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

[editar] T10 - Natureza algébrica das diferenciais

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Natureza algébrica das diferenciais
Se f'(x) \,\! existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas.

Seja \mbox{d}y \,\! e \mbox{d}x \,\! as diferenciais de f(x) \,\!, sua derivada é:
f'(x)= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}\,\!

Seja dy e dx as diferenciais de f(x) quando sua derivada é f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}, Então:

Demonstração:

Pelo teorema da razão do limite:

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y} { \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x} .

O que nos dá a possibilidade de fazer:

\mbox{d}y = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y

\mbox{d}x = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x

Desta forma, os operadores dy e dx são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados.

[editar] T11 - Regra da cadeia

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Regra da cadeia
Seja a função composta h(x)=f[g(x)] \,\!, sua derivada pode ser calculada por:
h'(x)=g'(x) \cdot f'[g(x)] \,\!

A função composta \{y=f(u)\ ;\ u=g(x)\} nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}u} \cdot \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}

Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue:

Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo Dt(z) indica a derivada de z em relação a sua variável t.

Adotando esta notação para as derivadas, temos:

D_u(y)=\lim_{\Delta u \to 0} \frac {f(\Delta u)}{\Delta u}

D_x(u)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {g(\Delta x)}{\Delta x}

queremos Dx(y) e sabemos que \lim_{\Delta u \to 0} f(\Delta u)=D_u(y) \cdot \lim_{\Delta u \to 0} \Delta u, para isso teríamos:

D_x(y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(\Delta u)}{\Delta x}

D_x(y) = D_u(y) \cdot \frac {\lim_{\Delta u \to 0} \Delta u}{\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x}

Quando \Delta x \to 0 ocorre que \Delta u \to 0, pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo:

D_x(y) = D_u(y) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta u}{\Delta x}

então:

D_x(y) = D_u(y) \cdot D_x(u)

[editar] Derivadas algébricas simples

Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações.

[editar] T12 - constante

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Derivada da constante
Seja a função f(x)=c \,\!, onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função;
c'=0 \,\!

Conforme constatamos:

f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(c)-f(c)}{\Delta x} 

f'(x) = 0

[editar] T13 - fator

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Derivada da função com fator
Seja a função f(x)=c \cdot g(x), onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que:
f'(x)= c \cdot g'(x)\,\!
Demonstração

Façamos o cálculo pela definição:

f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot g(x_2)-c \cdot g(x_1)}{\Delta x} \,\!

f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot [g(x_2)-g(x_1)]}{\Delta x}\,\!

f'(x)= c \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_2) - g(x_1)}{\Delta x} \,\!

f'(x)=  c \cdot g'(x)

O que nos afirma a validade do teorema.

[editar] T14 - Variável com expoente constante

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Derivada da função com expoente constante.
Seja a função f(x)= x^n \,\!, onde n \,\! é uma constante positiva e n \ge 1, sua derivada é:
f'(x)=n \cdot x^{n-1} \,\!

Demonstração:

Temos pela definição:

f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}

f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {x^n + n \cdot x^{n-1} \cdot \Delta x+\frac {n \cdot (n-1) \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)^2}{2!}+...+ n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}

f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \left[ n \cdot x^{n-1} + \frac {n \cdot (n-1) \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)}{2!}+...+ n \cdot x \cdot (\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1} \right]

Considerando o limite, temos:

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

Como única parte relevante, pois todas as outras terão valores nulos no limite, isto prova o teorema.

[editar] Diferenciação implícita

Considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente e que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação, a partir da regra da cadeia, temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua. O método de diferenciação implícita é muito útil como meio de simplificar a resolução de diferenciais onde a variável dependente é de órdem superior.

A idéia mestra deste mecanismo é tornar implícito o conteúdo da variável, sem que seja necessária a sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução; Vejamos um exemplo para simplificar a explanação:

A função y2 − 2y − 3 = x3 − 3x2 é realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora, porém podemos esquecer a resolução da equação e considerar que a diferenciação pode, implicitamente, ser operada diretamente na equação inteira, desta forma:

2y\ \mbox{d}y - 2\ \mbox{d}y=3x^2\ \mbox{d}x-6x\ \mbox{d}x

A partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar o valor da derivada \frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}.

\frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x^2-6x}{2(y-1)}

A equação que representa a função apresenta dois valores possiveis para y:

\left[y=\left(2-x\right) \sqrt{x+1}+1 \quad , \quad y=\left(x-2\right)\sqrt{x+1}+1\right]

O que nos dá duas derivadas, quando substituímos o valor de y na sua derivada:

\left[\frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x^2-6x}{2 \left(2-x\right) \sqrt{x+1}} \quad , \quad \frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x^2-6x}{2\left(x-2\right)\sqrt{x+1}}\right]

Simplificando:

\left[\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{3x \sqrt{x+1}}{2(x+1)} \quad , \quad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{3x \sqrt{x+1}}{2(x+1)}\right]

Desta forma podemos encontrar qualquer diferencial implicitamente, reduzindo a complexidade na aplicação das regras de derivação.


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