Análise real/Imprimir

Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

Wikilivristas que cooperaram com o desenvolvimento e manutenção deste wikilivro:

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Esses nomes não estão na ordem de importância e sim na ordem com que foram aparecendo para ajudar.

Objetivo

O objetivo principal

Deste livro é que qualquer pessoa que tenha feito um bom curso de cálculo e que esteja interessado em aprender análise, fique satisfeito depois de uma longa leitura desses textos. É claro que, às vezes, uma única leitura é insuficiente, pois se trata de conceitos abstratos. Abaixo temos o que chamamos de requisitos básicos.O que temos que saber primeiro para que entendamos tudo quanto está escrito no livro de análise.

• Cálculo (Volume 1)
• Cálculo (Volume 2)
• Cálculo (Volume 3)

Outros objetivos

• Quando o livro-texto já estiver quase pronto, colocar a disposição exercícios e também suas resoluções.
• Buscar ser o melhor livro na área, pois ele será auto-explicativo.
• Evitar a trivialidade. Conforme os leitores forem tendo dúvidas, comunicarão pelas discussões para que possamos melhorar o texto para que ele se torne auto-explicativo.
• Sempre que alguém ver alguma falha, erro, equívoco ou algo que falte do livro-texto sempre estará aberto a novas opiniões.

Objetivo secundário

Existe um grande pulo entre fazer um simples curso de cálculo (na licenciatura ou áreas práticas, como engenharias, física, ...) e fazer um rigoroso curso de cálculo no bacharelado nos livros rigorosos como Guidorizzi.

Assim em vez de fazermos um livro só para desfazer essa diferença, no final do livro de análise, estaremos colocando certos conceitos que o leitor tem que ter em mãos, este qie é a diferença citada acima.

Talvez algum dia, esses conceitos possam ser separados num novo livro.

Introdução

A análise real é uma área da análise matemática que estuda o conjunto dos números reais e, principalmente, as propriedades analíticas das funções reais a valores reais. Entre os seus objetos de estudo, estão:

• Convergência de seqüências;
• Limite de funções;
• Continuidade de funções;
• Diferenciação;
• Integração.

Sendo assim, este livro começa definindo de forma precisa o que são "números reais" e o que se pode fazer com eles, ou seja, quais são as operações definidas sobre este conjunto numérico, e quais as suas propriedades. A presença de tais formalismos em um livro de análise é essencial. Uma razão muito simples para isso é que não se pode começar a provar teoremas sobre números reais, sem que se tenha deixado claro sobre o que exatamente está sendo falado. Essa é uma das grandes diferenças entre um livro de cálculo e um livro de análise: Em cálculo o mais importante é aprender a aplicar os conceitos e teoremas (da análise matemática), realizando cálculos. Na análise, procura-se desenvolver formalmente toda a teoria que garante o funcionamento daqueles teoremas, fazendo-se uma análise dessa teoria, levando em conta toda a estrutura lógica que interliga tais teoremas. Em certo sentido, em cálculo usam-se os teoremas para fazer contas, e na análise usa-se a lógica para fazer teoremas.

Com o conhecimento adquirido na formação escolar, tem-se ainda apenas uma idéia intuitiva do que são os números reais. Às vezes não se tem a familiaridade necessária com esse conceito para poder responder com segurança questões como:

• "Por que não se extrai raiz quadrada de números negativos, como $\sqrt{-1}$?" e
• "Por que não se pode dividir por zero, e escrever $\frac{1}{0}$?"

Mesmo que a verdade fosse dita, alguns alunos não ficariam satisfeitos com a explicação. Mesmo que a resposta possa não ser útil para muitas pessoas, para os futuros matemáticos, e professores de matemática, é preciso oferecer alguma explicação convincente. No caso:

• Pode-se, sim, extrair raiz quadrada de números negativos, mas o resultado será um número complexo.
• Mesmo que alguém quisesse definir a segunda expressão como sendo algum número real (e admita, até você já quis fazer isso, não?), imediatamente seriam deduzidos fatos contraditórios.

Um exemplo (talvez um pouco informal) de uma tentativa frustrada de definir essa última expressão, mas que oferece alguma intuição a respeito é:

• Se $\frac{1}{0}$ fosse igual a $10$, ou seja, $\frac{1}{0} = 10$ então ao multiplicar ambos os membros pelo denominador (às vezes chamado de passar o zero para a direita) seria concluído que $1 = 0$. Nada é mais absurdo que isso!

Sendo assim, já que qualquer tentativa de escolher um valor real para atribuir à expressão $\frac{1}{0}$ leva a uma contradição como a anterior, é muito mais útil deixar tal expressão indefinida, do que estudar uma teoria cheia de contradições!

Neste livro, a abordagem escolhida para a construção da teoria é aquela em que se definem definir os números a partir de alguns axiomas (uma teoria axiomática). Em termos leigos, os axiomas correspondem às propriedades que se acredita que os números reais deveriam ter. Com base nessas propriedades, demonstram-se muitas outras (leia-se "todas as outras"), de forma que tudo aquilo que se pode fazer com os números reais esteja bem justificado.

Faça uma boa leitura e, se encontrar algum erro ao longo do texto, seja audaz: Faça você mesmo a correção! Melhorias no texto sempre serão bem vindas, e em caso de dúvida pode-se ainda consultar os autores.

Enumerabilidade

Conjuntos enumeráveis

Intuitivamente, um conjunto S é enumerável quando é possível construir uma lista com todos os elementos de S. Mais formalmente falando, um S é enumerável se existir uma bijeção (relação um para um) entre S e o conjunto dos números naturais N (chamam-se de conjuntos de mesma cardinalidade quando existe uma bijeção entre os conjuntos; também diz-se que estes conjuntos são equipotentes).

Um exemplo de conjunto enumerável é o conjunto dos números inteiros, cujos elementos podem ser listados da seguinte maneira:

• 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...

É possível provar que os seguintes conjuntos são enumeráveis:

• o conjunto dos números racionais
• o conjunto dos números algébricos

Além disso, é possível provar que $\mathbb{R}\,$ e $\mathbb{R}^2\,$ tem a mesma cardinalidade; uma conjecture interessante neste ponto seria mostrar que todo conjunto infinito é enumerável. Esta conjectura, porém, é falsa.

Conjuntos não-enumeráveis

Cantor mostrou que o conjunto dos números reais tem mais elementos que o conjunto dos números naturais, no sentido preciso seguinte: existe uma função injetiva $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\,$, mas não existe uma função bijetiva $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\,$

Assim, o conjunto dos números reais não é enumerável, assim como qualquer conjunto equipotente a ele (o conjunto dos números complexos, o conjunto das funções contínuas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,$, o conjunto das sequências de números reais, o conjunto das partes de $\mathbb{N}\,$, etc), ou conjuntos de maior cardinalidade (o conjunto das partes de $\mathbb{R}\,$, o conjunto das funções $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,$, etc).

Existem várias provas de que $\mathbb{R}\,$ não é enumerável; as provas consistem em supor uma sequência de números reais $a_0, a_1, a_2, ...\,$ e exibir um número real x que não está nesta sequência.

Uma das provas utiliza o princípio dos intervalos encaixados, que será visto no capítulo Completude; a demonstração está no capítulo Sequências.

Ver também

• Conjunto Contável

Números racionais

Grupo Aditivo dos Inteiros (Z,+)

O conjunto dos inteiros $\mathbb{Z}$ e a operação de adição $+\$ formam um grupo e a multiplicação carece de inversas. Se permitirmos que a multiplicação e a adição operem nos $\mathbb{Z},$ nós poderemos definir um conjunto onde todo elemento, exceto o zero, tem um inverso multiplicativo. Este é o conjunto de números racionais.

Números Racionais

A próxima extensão padrão adiciona a possibilidade de quocientes ou divisão, e dá-nos os números racionais(ou apenas racionais) $\mathbb Q,$ Que inclui o inverso multiplicativo de $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ da forma $\frac{1}{z}$ frações como a $\frac{1}{2},$ bem como produtos dos dois conjuntos a partir de $\frac{z_1}{z_2},$ como $\frac{64}{7}, \frac{17}{16\times 10^5}.$ Os racionais nos permitem usar precisão arbitrária, e eles são suficientes para medição.

Os números racionais podem ser construídos a partir dos inteiros como classe de equivalência de pares ordenados (a, b) de inteiros, com b ≠ 0, tal que (a, b) e (c, d) são equivalentes quando ad = bc usando a definição de multiplicação de inteiros. Estes pares ordenados são, é claro, comumente escritos $\tfrac{a}{b}.$ Pode-se definir adição como (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e multiplicação como (a, b) . (c, d) = (ac, bd); todos usando a definição de adição e multiplicação de inteiros.

Esta construção dos racionais a partir dos inteiros é denominada construção do corpo de frações de um anel; nem todos anéis podem ter um corpo de frações, mas uma classe especial de anéis, os domínios de integridade, podem. Entre os domínios de integridade estão os inteiros e o anel dos polinômios com coeficientes em um corpo ou domínio de integridade.

Ver também

• Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais - texto mais elementar
• Álgebra Abstrata
• Corpos
• Corpo Ordenado

Os números reais

Porque precisamos dos números reais

Este é um bom momento para justificar o tema da análise real, o que reduz essencialmente para justificar a necessidade de estudar $\mathbb R$. Portanto, o que está faltando? Porque é preciso algo além dos racionais?

O primeiro sinal de problema é a raíz quadrada. Famoso dilema, $\sqrt (2)$ não é um racional - em outras palavras, não existe um número racional que ao quadrado dá $2$ (veja os exercícios). Este fato tem uma curiosa consequência - considere as seguintes funções: $f:\mathbb Q\to\mathbb Q;x\mapsto \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{se }x^2<2 \\ 1 & \mbox{se }x^2>2 \\ \end{matrix} \right.$

É evidente que esta função tem um salto dramático em torno do racional $1,4$, onde ele muda de repente, inicialmente sendo igual a zero e muda para ser igual a um. No entanto, é impossível estabelecer exatamente onde esse salto acontece. Qualquer número racional específico é seguro de um lado ou para o outro, esta função é contínua, de acordo com a definição usual de continuidade. Conceito que ficará claro num capítulo posterior.

É esta falha que os números reais são projetados para consertar. Vamos definir os números reais $\mathbb R$ para que não importe o quão hábil tentaremos ser, se uma função tem um "salto" da forma que $f$ faz, em seguida sempre seremos capaz de encontrar um número específico em que ela salta.

As seções seguintes descrevem as propriedades dos $\mathbb R$, que tornam isso possível.

Diferentes perspectivas

A fim de provar alguma coisa sobre o números reais, precisamos saber quais são as suas propriedades. Existem duas abordagens diferentes para descrever essas propriedades - axiomática e construtiva.

Uma abordagem axiomática

Quando tomarmos uma abordagem axiomática, simplesmente faremos uma série de afirmações sobre $\mathbb R$, e assumir que são titulares. As afirmações que fazemos são chamados axiomas- num contexto matemático este termo significa aproximadamente "pressuposto básico". A vantagem desta abordagem é que é exatamente claro o que temos de assumir para obter os resultados que desejamos, e, além disso, podemos proceder imediatamente a dedução desses resultados. A desvantagem desta abordagem é que ela pode não ser imediatamente evidente que qualquer objeto que satisfaça as propriedades que desejamos ainda existe!

Uma abordagem construtiva

Com uma abordagem construtiva, não estamos felizes simplesmente para assumir exatamente aquilo que queremos, mas sim tentarmos construir $\mathbb R$ de algo mais simples e, em seguida, provar que ela tem as propriedades que queremos. Desta forma, o que poderia ter sido axiomas tornam-se teoremas. Existem várias maneiras de fazer isso, a partir de $\mathbb Q$ e usando algum método para 'encher as lacunas entre as racionais'. Todos esses métodos são bastante complexos e serão adiadas até a próxima secção.

Os axiomas

Então, quais são esses axiomas que vamos precisar? A versão curta é dizer que $\mathbb R$ é um Corpo ordenado completo. Isto é, de fato, dizendo muitas coisas:

• Que $\mathbb R$ é um corpo ordenado arquimediano.
• Que $\mathbb R$ é completo e ordenado (Note que o significado da integralidade aqui não é exatamente o mesmo que o sentido comum no estudo dos conjuntos parcialmente ordenados).
• Que as operações algébricas (adição e multiplicação) descritas pelo axiomas de corpo interagem com a ordenação na forma esperada.

Mais detalhadamente, afirmarmos o seguinte:

1. $\mathbb R$ é um corpo. Por isso, exigimos que as operações binárias adição (denotado $+$) e multiplicação(denotado $\times$) definida sobre $\mathbb R$, e os elementos distintos $0$ e $1$ satisfazendo:
   1. $(\mathbb R, +, 0)$ é um grupo comutativo, satisfazendo:
      1. $\forall x,y,z\in\mathbb R: (x+y)+z=x+(y+z)$ (associatividade)
      2. $\forall x,y\in\mathbb R: x+y=y+x$ (comutatividade)
      3. $\forall x\in\mathbb R: x+0=x$ (identidade)
      4. $\forall x\in\mathbb R:\exists y\in\mathbb R: x+y=0$ (inverso)
   2. $(\mathbb R\setminus \{0\}, \times, 1)$ é um grupo comutativo, satisfazendo:
      1. $\forall x,y,z\in\mathbb R\setminus \{0\}: (x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ (associatividade)
      2. $\forall x,y\in\mathbb R\setminus \{0\}: x\times y=y\times x$ (comutatividade)
      3. $\forall x\in\mathbb R\setminus \{0\}: x\times 1=x$ (identidade)
      4. $\forall x\in\mathbb R\setminus \{0\}:\exists y\in\mathbb R\setminus \{0\}: x\times y=1$ (inverso)
   3. $\forall x,y,z\in\mathbb R: x\times(y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ (distributividade)
2. $\mathbb R$ é um conjunto totalmente ordenado. Por isto, exigimos uma relação (denotado por $\leq$) satisfazendo:
   1. $\forall x\in\mathbb R: x\leq x$ (reflexividade)
   2. $\forall x,y,z\in\mathbb R: (x\leq y \mbox{ e } y\leq z)\implies x\leq z$ (transitividade)
   3. $\forall x,y\in\mathbb R: (x\leq y \mbox{ e } y\leq x)\implies x=y$ (anti-simetria)
   4. $\forall x,y\in\mathbb R: \mbox{temos} (x\leq y) \mbox{ ou } (y\leq x)$ (totalidade)
3. $\mathbb R$ é um corpo ordenado se o conjunto $\mathbb{R}^+$ satisfaz as condições abaixo:
   1. $\mathbb{R}^+$ é fechado para a soma e para o produto
      • $\forall x,y \in \mathbb{R}^+ \Rightarrow x+y \in \mathbb{R}^+$ e $x \times y \in \mathbb{R}^+$;
   2. Dado $x \in \mathbb{R}$ aplicamos a tricotomia:
      • $x=0$ ou $x \in \mathbb{R}^+$ ou $-x \in \mathbb{R}^+$
4. O Corpo com operações e ordem interagem de maneira esperada, satisfazendo:
   1. $\forall x,y,z\in\mathbb R:x\leq y\implies (x+z)\leq(y+z)$
   2. $\forall x,y,z\in\mathbb R:(x\leq y\mbox{ e }0\leq z)\implies (x\times z)\leq(y\times z)$

Esta é uma grande lista, e se não for utilizado para os axiomas matemáticos (ou mesmo se você estiver!) pode parecer um pouco assustador, especialmente desde que ainda tenha dado detalhes do que significa perfeição. Esta é uma das mais longas lista de axiomas, em qualquer região da matemática, mas se você analisar uma de cada vez, você vai descobrir que todos eles estabelecem coisas que você provavelmente já tomou conhecimento como "a forma como os números se comportam' sem um segundo pensamento.

Estes axiomas são tão exigentes que existe um sentido em que se especifiquem o número real precisamente. Em outras palavras $\mathbb R$ é somente o corpo ordenado completo.

Outras notações

Tendo definido essas operações e relações nos $\mathbb R$, precisamos introduzir mais notações para melhor falar sobre elas. Esperamos que todas estas convenções devem ser familiares para você, mas é importante apresentar formalmente todas elas para evitar confusões na sequência de equívoco de notação:

• Ao invés de escrever $\times$ de multiplicação, podemos simplesmente denotá-la por justaposição. Em outras palavras, é escrever $xy$ para denotar $x\times y$.
• Uma vez que tanto multiplicação e a adição são associativas, omitiremos os desnecessários parênteses quando vários números são adicionados ou multiplicados. Em outras palavras, em vez de escrever $(x+y)+z$ ou $x+(y+z)$, que são iguais, nós simplesmente escreveremos $x+y+z$ para indicar seu valor comum.
• Para colocar parênteses em uma expressão, por convenção, a multiplicação tem maior precedência que a adição. Assim, por exemplo, a expressão $x+yz$ deve ser interpretada como $x+(yz)$, ao invés de $(x+y)z$.
• O número $x+y$ é chamado a soma de $x$ e $y$.
• O número $xy$ é chamado o produto de $x$ e $y$.
• O inverso aditivo de $x$ é escrito como $-x$, e chamado o negativo ou negativo de $x$. Então, $x+(-x)=0$.
• O inverso multiplicativo de $x$ é escrito como $x^{-1}$, e chamado o recíproco, ou simplesmente o inverso de $x$. Então, $x(x^{-1})=1$.
• Definimos a operação binária de subtração como se segue: $\forall x,y\in\mathbb R$, definimos $x-y=x+(-y)$. O número $x-y$ é chamado a diferença de $x$ e $y$.
• Subtração tem a mesma precedência que a adição (menos superior que a multiplicação), e quando as duas operações estão mixadas sem os parênteses, Esquerda-associatividade está implícita. Por exemplo, $a+b-c-d+e$ deverá ser interpretada como $(((a+b)-c)-d)+e$.
• Definimos a operação binária de divisão como se segue: $\forall x,y\in\mathbb R$, com $y\not=0$, definimos $x/y=x(y^{-1})$. O número $x/y$ é chamado o quociente de $x$ e $y$, e também é denotado $\frac{x}{y}$.
• A divisão tem uma precedencia bastante superior que da adição ou subtração, mas não existe uma simples convenção sobre como deve ser mixado a multiplicação e a divisão. Usando a notação $\frac{x}{y}$, em vez da notação $x/y$ contribui para evitar confusões.
• Definimos a operação binária de exponenciação como se segue: $\forall x\in\mathbb R$ e $n\in\mathbb N_0$, definimos $x^n$ Recursivamente por $x^0=1$ e $x^{n+1}=(x^n)x$. Então para $n\in\mathbb Z$, com $n<0$, definimos $x^n=(x^{-1})^{-n}$.
• A exponenciação têm uma precedência bastante superior que qualquer de divisão, multiplicação, adição e subtração. Por exemplo, $ab^2+d^3$ deverá ser interpretado como $(a(b^2))+(d^3)$.
• Escrevemos $x\geq y$ para significar que $y\leq x$.
• Escrevemos $x<y$ para significar que $x\leq y$ e $x\not=y$.
• Escrevemos $x>y$ para significar que $y<x$.
• Para abreviar uma coleção de equações ou inequações, podem ser contribuídos juntos. Por exemplo, a expressão $a\leq b=c=d<e$ deverá ser interpretada como $a\leq b$ e $b=c$ e $c=d$ e $d<e$.
• Dizemos que $x$ é positivo significando $x>0$.
• Dizemos que $x$ é negativo significando $x<0$.
• Dizemos que $x$ é não-positivo significando $x\leq 0$.
• Dizemos que $x$ é não-negativo significando $x\geq 0$.
• Também introduzimos a notação comum para diversas variedades de subconjuntos dos $\mathbb R$. Todos estes subconjuntos são chamados intervalos:
  • $[a,b]=\{x\in\mathbb R:a\leq x\leq b\}$ (chamado de intervalo fechado de $a$ até $b$).
  • $(a,b)=\{x\in\mathbb R:a<x<b\}$ (chamado de intervalo aberto de $a$ até $b$)
  • $[a,b)=\{x\in\mathbb R:a\leq x<b\}$
  • $(a,b]=\{x\in\mathbb R:a<x\leq b\}$
    • $[a,a]=\{x\in\mathbb R:a\leq x\leq a\}$ chamado de intervalo degenerado, pois o único elemento do conjunto é o próprio a
  • Em todos casos, $a$ é chamado o limite inferior do intervalo, e $b$ é chamado de limite superior.
  • Uma exclusão do limite inferior (nos casos 2 e 4) podem ser substituídos por $-\infty$ para indicar que não existe restrição inferior. Por exemplo $(-\infty,b]=\{x\in\mathbb R:x\leq b\}$.
  • Similarmente, uma exclusão do limite superior (nos casos 2 e 3) podem ser substituídos por $\infty$. Por exemplo, $(-\infty,\infty)=\mathbb R$.
  • Alguns intervalos específicos que aparecem frequentemente são os intervalos unitários fechados, ou seja intervalos unitários, que é $[0,1]$, e ${\mathbb R}^+=(0,\infty)$, os números reais positivos .

• Todo corpo ordenado é infinito e têm "característica zero", ou seja, $\begin{matrix} \underbrace{ 1+1+\cdots+1 } \\ quantas-vezes-quisermos \end{matrix} \not= 0$

Teorema (valor absoluto)

Sejam x,a elementos de um corpo ordenado $\mathbb{R}$. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. $-a \le x \le a$;
2. $x \le a$ e $-x \le a$;
3. $|x| \le a$;

Prova

Teorema (valor absoluto) Sejam x,a elementos de um corpo ordenado . As seguintes afirmações são equivalentes: em 2 esta escrito:

2. x é < a ou x = a e -x<a ou -x=a;

acho que deve ter sido um erro de digitação, acredito que, o que queriam dizer é que:

e -x>a ou -x=a;

contra prova é: seja x= -2 e a= -1 , então -2<-1 mas 2<-1 , espero poder ter ajudado, to gostando do material, parabens para todos os responsáveis!

Corolário (distância restrita)

Dados $a,b,x \in \mathbb{R}$ tem-se $|x-a| \le b \Leftrightarrow a-b \le x \le a+b$

Definição (Ponto em um intervalo)

$x \in (a-\epsilon, a+\epsilon) \Leftrightarrow a-\epsilon < x < a+\epsilon \Leftrightarrow |x-a| < \epsilon$

Teorema (Relações com módulo)

$\forall x,y,z \in \mathbb{R}$ temos

1. $\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$;
2. $\|xy| = \|x\|\|y\|$
3. $\|x\|-\|y\| \le |\|x\|-\|y\|| \le \|x-y\|$
4. $\|x-z\| \le \|x-y\|+\|y-z\|$

Prova

1. .
2. .
3. b) $\|x\|=\|x-y+y\| \le \|x-y\|+\|y\| \Rightarrow \|x\|-\|y\| \le \|x-y\|$ e $\|y\|=\|y-x+x\| \le \|y-x\|+\|x\| \Rightarrow \|x\|-\|y\| \ge -\|x-y\|$, logo $|\|x\|-\|y\|| \le \|x-y\|$
4. .

Alguns resultados simples

Neste ponto, há um grande número de resultados muito simples que podemos deduzir sobre estas operações a partir dos axiomas. Algumas destas são definidas e outras delas têm provas. As restantes provas devem ser considerados exercícios de manipular axiomas. O objetivo destes resultados é que nos permitam efetuar qualquer manipulação, que pensamos é "obviamente verdade", devido à nossa experiência de trabalhar com números. Salvo quantificados, o seguinte deveria realizar para todos.

• $0$ é a única identidade aditiva.

Prova: Suponha que $x$ é uma identidade aditiva, então $x=x+0=0$. $\Box$

• $1$ é a única identidade multiplicativa.

• Ambas inversas aditivas e multiplicativas são únicas. Mais formamente: Se ambos $x+y=0$ e $x+z=0$ então $y=z$; e se ambos $xy=1$ e $xz=1$ então $y=z$ (De modo que a notação $-x$ e $x^{-1}$ fazem sentido).

Prova: Para o caso de adição: Temos $x + y = 0$ e $x + z = 0$, de modo que acrescentando $y$ a esta última equação, temos $(x + z) + y = 0 + y$, mas, em seguida, por comutatividade e associatividade deduzimos que $(x + y) + z = 0 + y$, E por outro lado pressupomos que $0 + z = y + 0$ e, em seguida, pela identidade do outro lado $z = y$. $\Box$

• $-(-x)=x$

• $\forall x\in\mathbb R\setminus\{0\}:(x^{-1})^{-1}=x$

• $0\times x=0$

• $0$ não têm inverso multiplicativo (pois divisão por $0$ não faz sentido)

• $\forall n,m\in\mathbb Z:x^nx^m=x^{n+m}$

• $\forall n,m\in\mathbb Z:(x^n)^m=x^{nm}$

• $x>y\iff\neg x\leq y$ (Aqui $\neg$ é a negação da lógica, então $\neg x\leq y$ (Significa que "não é o caso que $x\leq y$".)

Prova: Primeiro consideramos as implicações $\implies$. Supomos $x>y$. Por definição, isto significa que $x\not=y$ e $y<x$. Se fosse verdade que $x\leq y$ então pela anti-simetria teríamos $x=y$, o que é impossivel. Logo $\neg x\leq y$.

Inversamente, suponha que $\neg x \leq y$. Primeiro, se tivéssemos $x = y$, em seguida, por reflexividade $x \leq y$, o que é impossível, por isso, na realidade $x \not= y$. Em segundo lugar, pela totalidade deduzimos que $y \leq x$. Estas duas condições são exatamente aqueles exigidos para $x> y$. $\Box$

• $x<y\iff\neg x\geq y$

• $x$ é um não-positivo se e somente se $x$ é um não positivo

• $x$ é um não-negativo se e somente se $x$ é um não negativo

• Se $x$ é ambos não-positivo e não-negativo então $x=0$

• $x$ é ambos não positivo e negativo

• $x\geq0\iff -x\leq0$

Prova: Suponha $x\geq0$. Por um dos axiomas chegamos que $x+(-x)\geq0+(-x)$. Pelo inverso aditivo dá $0\geq0+(-x)$ e, em seguida, pela identidade aditiva $0\geq-x$, como exigido.

A implicação converge que sigamos similarmente. $\Box$

• $(x\leq y\mbox{ e }z\leq0)\implies xz\geq yz$

• $\forall x\in\mathbb R:x^2\geq 0$

Prova: Por totalidade da ordem, temos que $x \geq0$ ou $x \leq0$. No primeiro caso podemos aplicar os axiomas que ligam a ordem de multiplicação diretamente para $0 \leq x$ e deduzimos que $0 \leq x ^ 2$. Neste último caso, se aplicar o último resultado desta lista para $0 \leq x$ e obtemos $x^2 \geq0$. $\Box$

• $1>0$ e $-1<0$

Aplicações

Embora possa ser dito que a totalidade deste livro é dedicada aos estudos de aplicações de completude, em particular, existem algumas aplicações simples que podemos dar facilmente quais fornecem uma indicação quanto ao modo como a completude resolve os problemas com os reais descritos acima.

Teorema (Desigualdade de Bernouli)

Em todo corpo ordenado K, se $n \in \mathbb{N}$ e $x \ge -1$, vale $(1+x)^n \ge 1+nx$

Prova 1(indução sobre n)

• Mostrar válido para n=1
  • $x \ge x \Rightarrow 1 + x \ge 1 + x \Rightarrow (1+x)^1 \ge 1+1x$
• Supor válido para n=k
  • $(1+x)^k \ge 1+kx$
• Mostrar válido para n= k+1
  • De $(1+x)^k \ge 1+kx$ multiplicamos (1+x) por ambos os membros pois $x \ge -1 \Rightarrow 1 + x \ge 0$.
    • Logo $(1+x)^k(1+x) \ge (1+kx)(1+x) \Rightarrow (1+x)^{k+1} \ge 1+x+kx+kx^2 \ge 1+x+kx = 1+(k+1)x$ (porque k x² é não-negativo).
  • E finalmente $(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x$

Prova 2(binômio de newton)

$(1+x)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (1)^{n-i}x^i = 1 + \frac{n(n-1)}{2}x + ... \ge 1+ nx$.

• Devemos mostrar que $\frac{n(n-1)}{2} \ge n$
  • Como $n \in \mathbb{N}, logo \; n^2 -n \ge 2n \Rightarrow n^2 - 3n \ge 0 \Rightarrow n(n-3) \ge 0 \Rightarrow n \ge 3$ é verdade.
• Assim $(1+x)^n \ge 1+nx$ é verdade para $n \ge 3$
  • como é válido para n = 1, basta mostrar que é válido para n = 2 que será válido para todo n natural
    • $(1+x)^2 \ge 1+2x \Rightarrow 1+2x+x^2 \ge 1+2x$ verdade
• portanto é válido para todo n natural

Teorema (Raíz quadrada)

Seja $x\in\mathbb R$ é não-negativo. Então $x$ têm uma única raíz quadrada não-negativa, denotado $\sqrt{x}$, que satisfaz $(\sqrt{x})^2=x$.

Prova

Tratamos apenas com o caso $x \geq 1$. O caso $x \in [0,1)$ é deixado como exercício.

Primeiro, notamos que quando $y, z \in \mathbb R$ são não-negativos, $y<z \implies y^2<z^2$ (Na terminologia iremos Introduzir mais tarde, dizendo que a função $y \mapsto y^2$ é estritamente crescente). Isso deixa claro que só pode haver uma raiz quadrada de $x$, e assim ele continua a encontrar um.

Seja $S =\{y\in\mathbb R:y^2\leq x\}$. Pretendemos aplicar o axioma do menor das cotas superiores para $S$, por isso temos de mostrar que é não-vazio e limitada superiormente.

Este $S$ é não-vazio é claro, desde que $1 \in S$.

Além disso, $x$ por si só é uma cota superior para $S$, uma vez que se $y>x \geq 1$, então $y^2>y$, de modo que $y^2>x$, e portanto $y\not\in S$.

Colocando estes fatos juntos, pelo axioma do menor da costas superiores, deduzimos que $S$ tem o menor das cotas superiores, ao qual chamamos $s$. Queremos mostrar que $s$ é a raiz quadrada de $x$ que queremos.

Certamente $s$ é positivo, uma vez que $1 \in S$ e assim $s \geq 1$. Em particular, podemos dividir por $s$.

Para mostrar que $s^2 = x$, eliminamos as possibilidades que $s^2> x$, e que $s^2 <x$.

Suponha que $s^2> x$. Seja $t = s-\frac {s^2-x}{2s}$. Então:

$t^2 = s^2 - (s^2-x) + \frac{(s^2-x)^2}{4s^2} = x + \frac{(s^2-x)^2}{4s^2} > x$

Então $t$ é na verdade uma cota superior para $S$, mas isso é impossível, uma vez que $t<s$ e $s$ é a menor das cotas superiores para $S$.

Assim concluímos que $s^2 \leq x$.

Agora suponha que $s^2 <x$. Seja $t = s + \frac {x-s ^ 2} {2s}$. De maneira similar ao de acima, deduzimos que $t^2 <x$, de modo $t \in S$, mas isso é impossível uma vez que $t> s$ e $s$ é uma cota superior para $S$.

Assim concluímos que $s^2 \geq x$, e assim $s^2 = x$, conforme exigido. $\Box$

Este argumento pode parecer excessivamente complexo (especialmente porque alguns detalhes são deixados como exercícios) e, na verdade, há um sentido no qual ele é, e desejamos ter a possibilidade de apresentar um argumento muito esmerador mais tarde. No entanto, não é suficiente para mostrar que nós podemos encontrar uma raiz quadrada de 2, e assim evitar o problema imediato com os racionais colocados no início desta seção. Para mostrar que não mais construção elaborada dará origem ao mesmo problema terá que esperar até que chegar o estudo de continuidade.

Propriedade de Arquimedes

Se x é um real positivo e y um real qualquer, então existe um natural n tal que nx > y

Exemplo:

• a) $\forall x\in\mathbb R:\exists n\in\mathbb N:n>x$
• b) $\forall x\in\mathbb R^+:\exists n\in\mathbb N:\frac{1}{n}<x$

Prova

a) Suponha que a afirmação não é verdadeira, então temos a negação, ao qual se afirma:

$\exists \; x \in\mathbb R; \forall \; n\in\mathbb{N} \; onde \; n\leq x$

Mas essa é, precisamente, a afirmação de que $\mathbb{N}$ é limitada superiormente. Certamente, ele é não-vazio, para que possamos aplicar o axioma da completude, obtendo o menor das cotas superiores para $\mathbb{N}$. A este menor das cotas superiores chamamos $l \;$.

Uma vez que $l \;$ é o menor das cotas superiores, sabemos que $l - 1 \;$ não é uma cota superior e, assim, $\exists \; n \in \mathbb N; n > l-1$. Mas então, $n + 1 > l :$, e $n +1 \in \mathbb{N}$ logo chegamos a uma contradição: que $l \;$ não é uma cota superior para $\mathbb{N}$ depois de tudo.

Assim, a nossa suposição era falsa, e (a) está provado.

b)Tome $x \in \mathbb R^+$. Certamente $x \not=0$, para que possamos inverter $x \;$ obteremos $x^{-1} \in \mathbb R^+$. Aplicando parte (a) $x^{-1} \;$, podemos encontrar $n \in \mathbb N$ com $n> x^{-1} \;$ e, em seguida, invertendo esta desigualdade, deduzindo $\frac {1} {n} <x$, conforme exigido. $\Box$

Proposições num Corpo Ordenado

Num corpo ordenado T. Seja $a,b \in T, a>0$, as seguintes afirmações são equivalentes:

1. $\mathbb{N} \subset T$, então T é ilimitado superriormente
2. $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $n \cdot a > b$;
3. $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $0 < {1 \over n} < a$

Corpo Arquimediano (definições)

• Definição 1 - Se num corpo ordenado K é valido as afirmações do teorema acima, ele é chamado Corpo Ordenado Arquimediano
• Definição 2 - Um Corpo Ordenado K é completo quando todo subconjunto não-vazio $X \subset K$ que for limitado superiormente, possui supremo em K

Conjunto Denso em $\mathbb{R}$

Um conjunto $X \;$ é chamado denso em $\mathbb{R}$ quando todo intervalo aberto $(a,b) \subset \mathbb{R}$, possui algum ponto de $X \;$. Ou seja, $\forall a,b \in \mathbb{R}$ com $a<b, \; \exists x \in X$ tal que $a<x<b \;$

• numa linguagem mais formal:

$Seja \; X \subset \mathbb{R}.\; Se \; (a,b) \cap X \ne \varnothing, \; \forall \; a,b \in \mathbb{R}$, então $X \;$ é $denso \; em \; \mathbb{R}$

Corolário (Densidade dos racionais e dos irracionais)

Se $x<y \;$ então $(x,y) \;$ contêm ambos um números racional e um número irracional.

Prova

Para encontrar um racional em $(x,y) \;$, que se aplica o axioma de Arquimedes (b) para $y-x, \exists n\in\mathbb{N}$ tal que $\frac {1}{n} <y-x$. Assim $1 <yn-xn \;$, de modo que $xn <yn-1 \;$.

Aplicando o axioma de arquimedes (a) para $y+1 \;$ teremos um $N\in\mathbb N$ satisfazendo $N>yn+2 \;$.

Agora escolha o menor $m\in\mathbb N$ satisfazendo $N-m<yn \;$. Pelo de cima, $m\geq2$, e então, uma vez que $m \;$ é minimo, sabemos que:

$N-(m-1)\geq yn$

$N-m\geq yn-1$

Colocando este juntamente com o fato que $xn<yn-1 \;$ deduzido do acima, temos:

$N-m> xn \;$

Assim, em resumo, temos $yn>N-m>xn \;$, de modo que $y>\frac{N-m}{n}>x$, e temos encontrado o número racional que queremos .

Para encontrar um número irracional, usaremos o que acabamos de deduzir do primeiro racional encontrado $q\in(x+\sqrt{2},y+\sqrt{2})$, de modo que $q-\sqrt{2}\in(x,y)$. Além disso, $q-\sqrt{2}$ deve ser irracional, pois se ele for um racional, então teríamos também $q-(q-\sqrt{2})=\sqrt{2}$ racional, e sabemos que ele não é. $\Box$

Cortes de Dedekind

Definição (Corte de Dedekind)

Seja $A \subset \mathbb{Q}$; A é um corte se, e somente se

• a) contem algum racional e todos os racionais anterior a esse, ou seja, se $m \in A, n < m \Rightarrow n \in A$
• b) A não contém um racional como maior de todos, isto é, seja $A= \{ n\in\mathbb{Q};n<m \}$
  • se m for racional, como m < m é absurdo, temos que não existe um racional maior do que todos e que esteja em A

Propriedade(elemento dentro ou fora do corte)

Seja $A= \{ n\in\mathbb{Q};n<m \}$; Se $n \in A, t \not\in A \; temos \; de \; n \in A \; que \; n<m \; e \; t \not\in A \Rightarrow m<t$, então $n<m<t \;$

Definição(Unicidade)

A,B são cortes racionais; A=B, se e somente se, possuem os mesmos elementos. Como $A= \{ n_1\in\mathbb{Q};n_1<m_1 \}$, $B= \{ n_2\in\mathbb{Q};n_2<m_2 \}, temos \; que \; m_1=m_2$. Se não fosse assim, teríamos elementos de um que não está em outro.

$\;$

Completude

Completude

Os números racionais $\mathbb Q$ satisfazem todos os axiomas de Corpo Arquimediano, detalhadas no capítulo anterior. Por isso, se quisermos justificar a necessidade dos números reais então claramente precisamos de algo a mais. Este "algo mais" é a completude. Existem várias maneiras equivalentes de descrever essa completude, mas a maioria deles exige de nós conhecer um pouco sobre sequências, que nós não introduziremos até o próximo capítulo, portanto, de momento, só podemos dar uma definição.

Intuitivamente, é fácil ver que $\mathbb Q$ tem "buracos", por exemplo, podemos dividir $\mathbb Q$ em duas partes, a primeira formada pelos números que são negativos ou cujo quadrado é menor que 2, e a segunda formada pelos números positivos cujo quadrado é maior que 2. Como a raiz quadrada de dois não é um número racional, vemos que esta divisão de $\mathbb Q$ foi feita de forma que todos os números da primeira metade são menores que todos os números da segunda metade, mas não ficou nenhum número separando as duas.

Se lembrarmos dos axiomas da geometria, um deles diz que "um ponto divide uma reta em duas partes". Podemos pegar este axioma e virá-lo ao avesso, ou seja, "se uma reta está dividida em duas partes, então tem um ponto separando as duas". Note que $\mathbb Q$ pode ser dividido em duas partes sem que haja um "ponto" (um número racional) no meio.

Em $\mathbb R$, sempre que for feita uma divisão em duas partes, de modo que todos os números da primeira parte sejam menores que os números da segunda parte, então tem que existir um número real no meio, separando as duas partes; este número pertence ou à primeira parte, ou à segunda.

Cota Superior

Seja $A\subseteq\mathbb R.$ Dizemos $b\in\mathbb R$ é uma cota superior para $A$ se

$\forall s\in A:s\leq b$

Por exemplo, $3$ é uma cota superior para $[0,1],$ assim como $1,$ mas $\frac{1}{2}$ não é, porque $1\in[0,1]$ e $1>\frac{1}{2}.$ Um conjunto com uma cota superior $b$ é dito ser limitado superiormente por $b$.

Supremo e Ínfimo

Dizemos que $s$ é o extremo superior ou supremo de $A$ se $s$ é a menor das cotas superiores de $A,$ e $b$ é qualquer extremo superior para $A$ então $s\leq b.$ Mais formalmente:

$(\forall a\in A:a\leq s)\mbox{ e }(\forall b\in\mathbb R:((\forall a\in A:a\leq b)\implies(s\leq b)))$

Do mesmo modo, dizemos que $b\in\mathbb R$ é cota inferior para $A$ se

$\forall a\in A:a\geq b$

E dizemos que $i$ é a maior das cotas inferiores ou ínfimo de $A$ se:

$(\forall a\in A:a\geq i)\mbox{ e }(\forall b\in\mathbb R:((\forall a\in A:a\geq b)\implies(i\geq b)))$

É fácil ver que o supremo (ou ínfimo), se existem, devem ser únicos. Se existem, o supremo e ínfimo de um conjunto $A$ são indicadas $\sup A$ e $\inf A$ respectivamente.

O axioma completude

Agora estamos finalmente prontos para indicar o último axioma, que é de completude:

• Se $S\subseteq\mathbb R$ é não-vazio e tem uma cota superior, então $S\$ tem o menor das cotas superiores.

É de salientar, neste ponto, a fim de evitar possíveis confusões, que geralmente nos estudo dos conjuntos ordenados, a definição de completude é que cada subconjunto tem a menor cota superior, e não há qualquer condição de que seja não-vazio ou limitado superiormente. No entanto, nós realmente deseja impor estas duas condições neste caso.

Outros axiomas de completude

Existem outros maneiras equivalentes de definir o axioma completude, mas envolvem sequências, então devemos falar sobre elas depois de discutido esse tema. Por causa da existência dessas outras formas, esse axioma é algumas vezes chamado de axioma do menor das cotas superiores.

Completude

O significade de completeness: é um axima relacionado com supremo e ínfimo. Que busca uma 'completude' nesses conceitos.

Propriedades de menor das cota superiores

Nós estaremos fazendo muito trabalho com a Menor das cotas superiores, por isso será importante saber como usá-los de forma eficiente nas provas. Aqui estão algumas definições e propriedades que são úteis a este respeito:

Unicidade da menor das cotas superiores

Todo conjunto não vazio que é limitado superiormente têm um único menor das cotas superiores, ou supremo (dito $\sup S$).

Prova

Seja $a$ e $b$ duas menor das cotas superiores de um conjunto $S.$

Se $a>b,$ então $b$ é uma cota superior para $S,$ $a$ não pode ser a menor das cotas superiores. Assim $a \leq b.$ Similarmente, $a \geq b.$ Assim $a = b,$ então $S$ pode ter somente uma maior das cotas superiores.

Existência do maior das cotas inferiores

Todo conjunto não vazio S que é limitado inferiormente têm um único maior das cotas inferiores, ou ínfimo (dito $\inf S$).

Prova

Seja S não-vazio e limitado inferiormente. Seja $T := \{-x: x \in S\}.$

Como S é não-vazio, $\exists x \in S.$ Assim $-x \in T,$ então T é não-vazio.

Como S é limitado inferiormente, $\exists M : \forall x \in S : x > M.$

Então $x \in T \implies -x \in S \implies -x > M \implies x < -M.$

Logo T é limitado superiormente por M, e portanto T têm o maior das cotas inferiores, $\beta.$

Como $x \in S \implies -x \in T \implies -x < \beta \implies x > -\beta,$ $-\beta$ é uma cota inferior para S.

Seja $\alpha$ uma cota inferior para S.

Logo $x \in T \implies -x \in S \implies -x > \alpha \implies x < \alpha,$ então $-\alpha$ é uma cota superior para T.

Como $\beta$ é a maior cota superior para T, $-\alpha > \beta ,$ e assim $\alpha < -\beta .$

Assim toda cota inferior para S é menor que $-\beta$

Ou seja, $-\beta$ é a maior cota inferior para S.

A unicidade segue similarmente ao da maior das cotas superiores.

Teorema (Ordenação dos Sups e Infs)

Se $S \subseteq T,$ onde S é não-vazio e T é limitado, então $\inf T \leq \inf S \leq \sup S \leq \sup T$

Prova

Como S é não-vazio, ele contêm um elemento x. Por definição, $\inf S \leq x$ e $x \leq \sup S ,$ então $\inf S \leq \sup S.$

Como T é limitado superiormente, ele têm a maior das cotas superiores, $\sup T.$

Como t é em particular uma cota superior para T, $\forall x \in T: x \leq \sup T .$ Como $S \subseteq T,$ $x \in S \implies x \in T \implies x \leq \sup T.$

Logo $\sup T$ é uma cota superior para S, Então $\sup S$ existe e por definição $\sup S \leq \sup T.$

Similarmente, $\inf S \geq \inf T.$

Propriedade do supremo e ínfimo

$Seja \; X \subset \mathbb{R} \; e \; c \in \mathbb{R};$

• supremo

1. $c < sup \; X \Rightarrow \exists x \in X; c < x$
2. $x \le c, \forall \; x \in X \Rightarrow sup X \le c$

• ínfimo

1. $inf \; X < c \Rightarrow \exists x \in X; x < c$
2. $c \le x, \forall \; x \in X \Rightarrow c \le inf X$

Princípio dos Intervalos encaixados

Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.

• Seja uma $X_1 \subset X_2 \subset ... \subset X_n \subset ...$ sequência decrescentes de intervalos limitados e fechados $X_n = [x_n,y_n] \;.$
  • $X = \bigcap_{i=1}^{\infty}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}; \; a \in X_n, \; \forall \; n \in \mathbb{N}$
  • De fato temos que $X \; = [x,y], onde \; x = sup \; x_n, y = inf \; y_n$

Notação de Soma e Produto

Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever "$a_1 + a_2 + \dots + a_n$". Logo usamos símbolos $\sum_{k=1}^{n} a_k$ e $\prod_{k=1}^{n} a_k$ para denotar a soma e produto, respectivamente, sobre um arbitrário número finito de números reais. Faremos isto indutivamente, como se segue:

• $\sum_{k=1}^{1} a_k = a_1$ e $\prod_{k=1}^{1} = a_1$
• $\sum_{k=1}^{n} a_k = a_{n} + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ e $\prod_{k=1}^{n} a_k = a_{n}\prod_{k=1}^{n-1}a_k$

Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:

Propriedades

• A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se $\{a_k: 1 \leq k \leq n\} = \{b_k: 1 \leq k \leq n\},$ então $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} b_k$ e $\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=1}^{n} b_k$

• • Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.

• $\sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k)$ e $\prod_{k=1}^{n} a_k \prod_{k=1}^{n} b_k = \prod_{k=1}^{n} (a_k b_k)$

• • Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que $\sum_{k=1}^{1} a_k + \sum_{k=1}^{1} b_k = a_k + b_k = \sum_{k=1}^{1} (a_k + b_k).$

Agora vamos supor que $\sum_{k=1}^{n-1} a_k + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = \sum_{k=1}^{n-1} (a_k + b_k).$ Logo $\sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$$=\sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n + \sum_{k=1}^{n-1} b_k + b_n$$=\sum_{k=1}^{n-1} a_k + \sum_{k=1}^{n-1} b_k + a_n + b_n$$= \sum_{k=1}^{n-1} (a_k + b_k) + (a_n + b_n)$$= \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k).$

A prova para o produto segue-se similarmente.

• $c\sum_{k=1}^{n}a_k = \sum_{k=1}^{n}c a_k$

• • Prova: Outra indução. Para $n=1,$ $c\sum_{k=1}^{1}a_k = c a_1 = \sum_{k=1}^{1}c a_k.$ Vamos supor que seja verdade para n-1. logo $c\sum_{k=1}^{n}a_k = c(\sum_{k=1}^{n-1}a_k + a_n) = \sum_{k=1}^{n-1}c a_k + c a_n = \sum_{k=1}^{n}c a_k.$

• $\sum_{k=1}^{n}(a_k) \sum_{l=1}^{m}(b_l) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{m} a_k b_l$

• • Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo $\sum_{k=1}^{n}(a_k) \sum_{l=1}^{m}(b_k)$$= (\sum_{k=1}^{n-1}(a_k) + a_n)\sum_{l=1}^{m}(b_k)$$= \sum_{k=1}^{n-1}(a_k) \sum_{l=1}^{m}(b_k) + a_n \sum_{l=1}^{m}(b_k)$$= \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{l=1}^{m}(a_k b_l) + \sum_{l=1}^{m}(a_n b_k)$$= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{m}(a_k b_l)$

Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.

Secção 1 Exercícios

Análise real/Secção 1 Exercícios

Sequências

Este módulo precisa ser revisado por alguém que conheça o assunto (discuta).

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: É preciso escolher se $\mathbb{N}$ denotará o conjunto dos números naturais com ou sem o zero neste livro e usar tal escolha consistentemente ao longo do texto (atualmente está inconsistente). Exemplo: Se o zero estiver no conjunto, então $(1/n)_{n \in \mathbb{N}}$ não faz sentido pois o primeiro termo seria 1/0.

Definição

Uma sequência de números reais é uma função $s:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é $(s_n)_{n\in\mathbb{N}},$ quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas $(s_n).$ Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é $s_n ,$ ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia.

Exemplos:

• A sequência dos números naturais$s:N \rightarrow R$ dada por $s_n = n, \forall n \in \mathbb{N}$ ou mais simplesmente $(n)_{n \in \mathbb{N}}.$
• A sequência de fibonacci $s_0 = 1, s_1 = 1, s_n = s_{n-1} + s_{n-2}, \forall n \in N,$ com $n \geq 2.$
• $s_n = 1/n, \forall n \in \mathbb{N},$ com $n > 0,$ ou mais simplesmente $(1/n)_{n \in \mathbb{N}} .$
• A sequência {1, 1/4, 1/9, 1/16, ...} é uma forma de representar $s_0 = 1, s_1 = 1/2^2, s_2 = 1/3^2, s_3 = 1/4^2, \ldots\,$ ou seja, $s_n = 1 / (n + 1)^2\,$

Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.

Classificação das sequências

Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ é dita:

1. estritamente crescente se $\forall n\in\mathbb N:a_n<a_{n+1};$
2. não-decrescente se $\forall n\in\mathbb N:a_n\leq a_{n+1};$
3. estritamente decrescente se $\forall n\in\mathbb N:a_n>a_{n+1};$
4. não-crescente se $\forall n\in\mathbb N:a_n\geq a_{n+1};$
5. monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
6. estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
7. limitada superiormente se existe $M\in\mathbb{R}$ tal que $\forall n\in\mathbb N:a_n\leq M;$
8. limitada inferiormente se existe $m\in\mathbb{R}$ tal que $\forall n\in\mathbb N:a_n\geq m;$
9. limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se $\exists M,m \in \mathbb{R}$ tal que $m \leq a_n \leq M;$
10. ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
11. Cauchy se $\forall\epsilon>0, \exists n_0\ |\ \forall n,m> n_0\ \Rightarrow |a_m - a_n|<\epsilon;$

Convergência

Dizemos que uma sequência $(x_n) \;$ converge para o número real $a \;$ quando, qualquer que seja $\epsilon > 0 \;$ dado, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que, se $n > n_0 \; ,$ então $|x_n - a| < \epsilon \;.$ Para dizer que $(x_n) \;$ converge para $a \;,$ normalmente escrevemos $(x_n) \rightarrow a,$ ou $\textstyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a$ ou apenas $\lim x_n = a,$ quando não houver dúvida que o limite trata de $n$ tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência $(x_n) \;$ fica arbitrariamente próxima de $a \;$ desde que se tome um $n \;$ suficientemente grande.

Exemplos

• A sequência $(1/n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge para $0.$ De fato, dado $\epsilon > 0,$ pela propriedade arquimediana da reta real, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n_0 > \frac{1}{\epsilon} \;,$ portanto $-\epsilon < 0 < 1/n_0 < \epsilon \;.$ Logo $|1/n_0 - 0| < \epsilon \;$ e concluimos que $(1/n) \rightarrow 0 \;.$

Proposição (unicidade do limite)

Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.

Demonstração

Seja $(x_n)$ uma sequência de números reais convergente com $x = \lim x_n.$ Suponha que $y \in R$ seja tal que$y = \lim x_n,$ queremos mostrar que $x = y \;.$

Suponha, por absurdo, que $x \not= y,$ então $|x - y| > 0 \;.$ Tomemos então $\epsilon = \frac{|x - y|}{2}.$ Por um lado, $(x_n) \rightarrow x,$ temos que existe $n_0 \;$ natural tal que $|x_n - x| < \epsilon \Rightarrow x_n \in (x - \epsilon, x + \epsilon), \forall n > n_0,$ por outro lado $(x_n) \rightarrow y,$ temos que existe $n_0 \;$ natural tal que $|x_n - y| < \epsilon \Rightarrow x_n \in (y - \epsilon, y + \epsilon), \forall n > n_0.$ Portanto$x_n \in (x - \epsilon, x + \epsilon) \cap (y - \epsilon, y + \epsilon), \forall n > n_0,$ mas pela construção de $\epsilon,$ temos que $(x - \epsilon, x + \epsilon) \cap (y - \epsilon, y + \epsilon) = \emptyset,$ absurdo. Temos então que considerar $y = x \;.$

Proposição

• Se $a_n \rightarrow 0, b_n \; limitada ,$ então $a_n \cdot b_n \rightarrow 0 ;$

Demonstração

Como b_n é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |b_n| < B para todo n.

Então, dado ε > 0, temos que $\frac{\epsilon}{B} > 0\,.$ Como a_n é uma sequência que converge para 0, existe n₀ tal que, para todo n > n₀, |a_n - 0| < ε / B.

Finalmente, fazendo as contas, temos que |a_n b_n - 0| < |a_n| |b_n| < (ε / B) . B = ε.

Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n₀ tal que para todo n > n₀, |a_n b_n - 0| < ε - precisamente a definição de limite.

Proposição (operações com sequências)

Dadas duas sequências $(a_n) \;$ e $(b_n) \;$ convergentes, com $a = \lim a_n$ e $b = \lim b_n$ e um número real $\lambda \;,$ então valem as seguintes propriedades:

• $(a_n + b_n) \rightarrow a + b;$
• $(a_n b_n) \rightarrow ab;$
• $(\lambda a_n) \rightarrow \lambda a;$

Se $b_n \not= 0, \forall n \in \mathbb{N},$ e $b \not= 0,$ então:

• $\left(\frac{a_n}{b_n}\right) \rightarrow \frac{a}{b}.$

Demonstração

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado $\epsilon > 0 \;,$ existem $n_a, n_b \;$ naturais tais que, se $n > n_a,n_b \;$ então $|a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}$ e $|b_n - b| < \frac{\epsilon}{2}.$

Portanto, se $n_0 = max \{n_a,n_b\} \;$ e $n > n_0 \;,$ então $|(a_n + b_n) - (a + b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| \leq |a_n - a| + |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$ Logo $(a_n + b_n) \rightarrow a + b.$

As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.

Proposição (toda sequência convergente é limitada)

Demonstração

Seja $(x_n) \;$ uma sequência convergente e $x = lim_{n \rightarrow \infty} x_n.$ Tomando $\epsilon = 1 \;,$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que, se $n \geq n_0,$ então $x_n \in (x - 1, x + 1).$ Além disso, o conjunto $X = \{x_0, x_1, ..., x_{{n_0}-1}\}$ forma um conjunto não-vazio limitado, então existe $s = min X \;$ e $S = max X \;,$ definindo $m = min\{s,x-1\} \;$ e $M = \max\{S,x+1\} \;,$ temos que $x_n \in (m,M),$ para todo $n \in \mathbb{N}.$

Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)

Toda sequência de números reais monótona limitada converge.

Demonstração

Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.

Seja $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é, $a_n \leq a_m$ se $n < m \;$ e existe $M \in \mathbb{R}$ tal que $a_n < M \;,$ para todo $n \in \mathbb{N}.$ Desta forma, o conjunto $A = \{a_n: n \in \mathbb{N}\}$ é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então $A \;$ tem supremo. Seja $a = sup A \;,$ vou mostrar que $(a_n) \rightarrow a.$ Como $a = sup A \;,$ qualquer que seja $\epsilon > 0, a - \epsilon \;$ não é o supremo de $A \;,$ então existe $a_{n_0} \in A$ com $a - \epsilon \leq a_{n_0} \leq a.$ Como a sequência $(a_n) \;$ é não-decrescente, se $n \geq n_0,$ temos $a - \epsilon \leq a_{n_0} \leq a_n \leq a,$ sendo a o supremo de $A \; ,$ podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então $a - \epsilon \leq a_{n_0} \leq a_n \leq a \leq a + \epsilon,$ que siginifica que, se $n \geq n_0$ então $|a - a_n| < \epsilon \; .$ Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então $(a_n) \rightarrow a.$

Proposição

Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente

Lema

Sejam $(a_n) \;$ uma sequência em $\mathbb{R}$ convergente para $a \;.$

1. Se $a > 0 \;,$ então $\exists \; n_0 \in \mathbb{N}; n>n_0 \Rightarrow a_n > 0$
2. Se $a_n > 0, \forall \; n \in \mathbb{N},$ então $a \geq 0.$

Demonstração

• (1)
• (2)Dado $\epsilon > 0, \exists n_0$ tal que $n > n_0 \Rightarrow a - \epsilon < a_n < a + \epsilon.$ Como $a_n > 0 \;,$ temos $0 < a_n < a + \epsilon \;$ e portanto $0 < a + \epsilon \;$ e consequentemente $0 \leq a.$

Proposição

Sejam $(a_n) \;$ e $(b_n) \;$ duas sequências em $\mathbb{R}$ convergentes, com $a = \lim a_n$ e $b = \lim b_n.$

1. Se $a_n < b_n \;,$ para todo $n$ natural, então $a \leq b.$
2. Se $a \le b_n, \forall \; n ,$ então $a \le b$

Demonstração

• (1)Se $a_n < b_n \;,$ para todo $n \;$ natural, então $0 < b_n - a_n \;,$ para todo $n \;$ e, pelo lema anterior, $0 \leq \lim (b_n - a_n) = \lim b_n - \lim a_n$ e portanto $\lim a_n \leq \lim b_n.$

• $(1)\Rightarrow(2)$ Seja $a_n = a(constante), \forall \; n.$

Teorema (do confronto)

Sejam $(a_n), (b_n) \mbox{ e } (c_n) \;$ sequências em $\mathbb{R}.$ Se $\lim a_n = \lim b_n$ e $a_n \leq c_n \leq b_n,$ para todo $n \;$ então $\exists \lim c_n$ e $\lim c_n = \lim a_n = \lim b_n.$

Demonstração

Seja $c = \lim a_n$ e $\epsilon > 0 \;$ dado.

Por um lado, como $c = \lim a_n,$ existe $n_a \in \mathbb{N}$ tal que, se $n > n_a \;$ então $c - \epsilon < a_n < c + \epsilon \;.$

Por outro lado, como também temos que, como $c = \lim b_n$ existe $n_b \in \mathbb{N}$ tal que, se $n > n_b \;$ então $c - \epsilon < b_n < c + \epsilon \;.$

Pela desigualdade $a_n \leq c_n \leq b_n,$ se $n > \max\{n_a,n_b\} \;$ então $c - \epsilon < a_n \leq c_n \leq b_n < c + \epsilon.$

Logo $c = \lim c_n.$

Subsequências

Uma subsequência de uma sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ é uma função $s:\mathbb{N}' \rightarrow \mathbb{R},$ onde $\mathbb{N}' \subset \mathbb{N}$ e $\mathbb{N}'$ é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é $(x_n)_{n\in\mathbb{N}'}.$

Como $\mathbb{N}'$ é enumerável, seus elementos podem ser escritos como $\{n_1, n_2, ..., n_k, ..\} \;,$ e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que $n_i < n_j \;,$ se $i < j \;.$ Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}.$ Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.

Proposição (convergência de subsequências)

Subsequência de sequência convergente é também convergente.

Demonstração

Seja $(a_n) \;$ uma sequência convergente para $a \;$ e $(a_{n_k})$ uma subsequência de $(a_n) \;.$ Como $(a_n) \rightarrow a,$ dado $\epsilon > 0 \;,$ existe $n_0 \;$ tal que, se $n > n_0 \;,$ então $|a_n - a| < \epsilon \;.$ Em especial, se $n_k > n_0 \;,$ temos $|a_{n_k} - a| < \epsilon.$ Logo $(a_{n_k}) \rightarrow a .$

Definição(Valor de aderência)

$a \;$ é "valor de aderência" de uma sequência $(x_n) \;$ se, e somente se, $a \;$ é limite de alguma das subsequências de $(x_n) \;$ se, e somente se, $\forall \epsilon >0, \exists \; n_0 \in \mathbb{N}; \; n>n_0 \Rightarrow x_n \in (a-\epsilon,a+\epsilon) .$

Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))

Seja $x_n \;$ uma sequência limitada.

1. Se a sequência $x_n \;$ é convergente, então o valor de aderência é único
2. Se a sequência $x_n \;$ possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes $x_n \in (a-\epsilon, b+\epsilon)$
3. Se a sequência $x_n \;$ possui n+2 subsequências convergindo para $a,c_1,...,c_n, b \; com \; a < c_i < b, i =1,2,...,n.$ Então a e b são o menor e maior valor de aderência e $c_i \in (a+\epsilon,b-\epsilon), i =1,2,...,n$
4. Se $a_n \rightarrow a, b_n \rightarrow b$ subsequências de $x_n \;$ que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então $a_n,b_n \;$ são monótonas e $a_n \;$ é crescente ou não-decrescente e $b_n \;$ é decrescente ou não-crescente

Demonstração

• (1) $x_n \rightarrow a \Rightarrow x_n$ possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como $x_n \;$ é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
• (2) Temos $n >n_1 \Rightarrow x_n \in (a-\epsilon,a+\epsilon) \;e\; n>n_2 \Rightarrow x_n \in (b-\epsilon,b+\epsilon) .$
  • Também $a-\epsilon<a<b<b+\epsilon \Rightarrow n>n_0=max\{n_1,n_2\}, com \; x_n \in (a-\epsilon, b+\epsilon)$
• (3)Seja $c_j \le c_i \le c_k, i =1,2,...,n.$ Temos $n >n_3 \Rightarrow x_n \in (c_j-\epsilon,c_j+\epsilon)$ $n>n_4 \Rightarrow x_n \in (c_k-\epsilon,c_k+\epsilon) \Rightarrow n>n_{0^*}=max\{n_3,n_4\}, com \; x_n \in (c_j-\epsilon, c_k+\epsilon).$
  • $a+\epsilon<c_j<c_k<b-\epsilon \Rightarrow a<c_j-\epsilon<c_k+\epsilon<b \;$
  • $c_i \in [c_j,c_k]\subset(c_j-\epsilon<c_k+\epsilon)\subset(a,b)$ e $c_i \in [c_j,c_k]\subset(a+\epsilon,b-\epsilon)\subset(a,b)$
• (4) por (2) é verdade que $n>n_0=max\{n_1,n_2\} \Rightarrow x_n \in (a-\epsilon, b+\epsilon) .$ Mas não pode existir $a_n,b_n \in (a+\epsilon, b-\epsilon)\; com \; n>n_0 (Sendo \; \epsilon <{a+b \over 2})$
  • $\not\exists a_j \ge b_i, \forall \;i,j \in \mathbb{N} \Rightarrow a_i<b_j, \forall \;i,j \in \mathbb{N}$
  • Se $a_n \;$ fosse decrescente ou não-crescente, teríamos $a_n \in [a,a+\epsilon) .$ Como $n>n_0 \Rightarrow x_n \in (a,b+\epsilon), \; assim \; b<a_i$ para algum $a_i\; .$ (contradição). Da mesma forma fazemos com $b_n\;$

Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente

$\;$

sequências de Cauchy

Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy

Demonstração

Seja $(a_n) \;$ uma sequência convergente para um ponto $a \;.$ Como $(a_n) \;$ converge para $a \;,$ qualquer que seja $\epsilon > 0 \;,$ existe $n_0 \;$ tal que, se $n > n_0 \;,$ então $|a_n - a| < \epsilon/2 \;.$ Portanto, se $n,m > n_0 \;,$ então $|a_n - a_m| \leq |a_n - a| + |a_m - a| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon.$ Portanto $(a_n) \;$ é de Cauchy.

Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada

Se $(x_n) \;$ é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem $m,M \;$ reais tais que $m \leq x_n \leq M,$ para todo n natural.

Demonstração

Como $(x_n) \;$ é uma sequência de Cauchy, dado $\epsilon > 0 \;,$ existe $n_0 \;$ natural tal que, se $n,m > n_0 \;,$ então $|x_n - x_m| < \epsilon \;,$ portanto $|x_n - x_{{n_0}+1})| < \epsilon,$ de onde concluimos que $x_n \in (x_{{n_0}+1}-\epsilon, x_{{n_0}+1}+\epsilon).$

Como $\{x_0, x_1, ... , x_{n_0}\}$ é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir $s = min\{x_0, x_1, ... , x_{n_0}\}, S = max\{x_0, x_1, ... , x_{n_0}\},$ Desta forma definindo $m = min\{s, x_{{n_0}+1} - \epsilon\}$ e $M = max\{S, x_{{n_0}+1} + \epsilon\},$ temos que $m \leq x_n \leq M,$ para todo $n \;$ natural. Como queríamos.

Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge

Se $(a_n) \;$ em $\mathbb{R}$ é uma sequência de Cauchy com subsequência $(a_{n_k})$ convergente para $a \;,$ então $(a_n) \;$ converge para $a \;.$

Demonstração

Dado $\epsilon > 0 \;,$ como $(a_{n_k})$ converge para $a \;,$ existe $n_{k_0}$ tal que se $n \geq n_{k_0},$ então $|a - a_{n_k}| < \epsilon/2.$ Como $(a_n) \;$ é Cauchy, existe $n_0 > 0 \; tal \; que \; n \geq n_0,$ então $|a - a_n| < \epsilon/2 \;.$

Pela desigualdade triangular, se $n > n_0 \;,$ então $|a - a_n| \leq |a - a_{n_{k_0 }}| + |a_{n_{k_0}} + a_n| \leq \epsilon.$

Lema: toda sequência tem subsequência monótona

Demonstração

Seja $(a_n) \;$ uma sequência qualquer e considere o conjunto $B = \{a_n: a_n \leq a_k, \forall k \in \mathbb{N}, k > n \}.$ Se $B \;$ for infinito, então $(a_n) \;$ tem subsequência não decrescente, caso contrário $(a_n) \;$ tem subsequência decrescente.

Teorema: toda sequência real de Cauchy converge

Demonstração:

Se $(a_n) \;$ é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência $(a_{n_k})$ monótona. Como $(a_n) \;$ é Cauchy, $(a_n) \;$ é limitada e portanto a subsequência $(a_{n_k})$ também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que $(a_{n_k})$ converge, logo $(a_n) \;$ converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.

Os números reais não são enumeráveis

Vimos, em um capítulo anterior (Enumerabilidade) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para $\mathbb{R}\,$ é imediato, pois $[0, 1] \subseteq \mathbb{R}\,$).

Seja portanto $s: \mathbb{N} \to [0, 1]\,$ uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.

Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:

• $I_0 = [0, 1]\,$
• Seja $I_n = [a, b]\,$ e sejam $m = \frac{a + b}{2}$, $a_1 = \frac{2 a + b}{3}\,$ e $b_1 = \frac{a + 2 b}{3}$. Então definimos $I_{n+1} = [a, a_1]\,$ se $x_n > m\,$, e $I_{n+1} = [b_1, b]\,$ caso contrário.

Por construção, é fácil ver que $\ldots I_2 \subset I_1 \subset I_0\,$. Além disso, temos que $\forall n, x_n \not\in I_{n+1}\,$.

Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos $A = I_0 \cap I_1 \cap I_2 \ldots\,$. Pela propriedade dos intervalos encaixados, este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).

Assim, temos que existe a, $a \in A\,$. Mas, pela propriedade de que $\forall n, x_n \not\in I_{n+1}\,$, temos que $x_n \not\in A\,$, ou seja, a é diferente de cada um dos x_n.

Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.

Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.

Série

Definição de série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

• Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, como somaremos todos os seus termos? vamos tomar $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ como uma sequência de soma dos termos de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Assim:

• $s_1 = a_1 \;$, $s_2 = \sum_{n=1}^{2}a_n \;$, $s_m = \sum_{n=1}^{m}a_n \;$
• $s = \lim s_n = \sum_{n=1}^{\infty}a_n \;$

Convergência de uma série

Teste do termo geral

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.

Se $s = \lim s_n = \sum_{n=1}^{\infty}a_n \;$ é uma série convergente então $\lim \; a_n = 0$

Demonstração

$a_n=\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k\,$

tomando limites, temos:

$\lim a_n=s - s = 0\,$

Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica $\sum_1^\infty 1/n\,$ que não é convergente, apesar de seu termo geral convergir para zero .

Propriedades de séries

Seja $\sum a_n = \;a, \sum b_n = b$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

• $\sum a_n + \sum b_n = \sum (a_n+b_n) \;$ converge para a + b
• $t\sum a_n = \sum ta_n \;$ converge para ta
• $(\sum a_n)(\sum b_n) = \;$ converge para ab
• $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \Rightarrow \sum_{n=n_0}^{\infty} a_n$ converge para p.
  • $p = a - \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n\,$
  • Se $a_n \ge 0, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow p<a$

Exemplos

Série geométrica

A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=1+r+r^2+r^3+\ldots$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$\sum_{n=0}^{N}r^{n} = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}$

É facil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$

Por outro lado, se $|r|\ge 1$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

$\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}$

Onde "a" é o termo inicial da série.

Secção 2 Exercícios

Análise real/Secção 2 Exercícios

Topologia da reta

Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.

Conjunto aberto

Ponto interior

Um ponto é dito ponto interior de um conjunto $X \subset \mathbb{R},$ se existe $a < b\,$ tal que $x \in (a,b)\subseteq X\,.$

Usamos a notação $int(X)\,$ para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto $X\,$

Exemplos

• Todo ponto x é um ponto interior de $\mathbb{R}\,$
• Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
• Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
• Nenhum ponto é ponto interior de $\mathbb{N}\,,$ $\mathbb{Z}\,$ ou $\mathbb{Q}\,.$

Definição de conjunto aberto

Dizemos que um conjunto $A \subset \mathbb{R}$ é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja: $\forall x \in A, \exists \epsilon > 0 | (x - \epsilon, x + \epsilon) \subset A.$

Exemplos

• O intervalo aberto $(a,b) \subset \mathbb{R},$ com $a < b\;$ é aberto, de fato, dado $x \in (a,b),$ tomando $\epsilon = min\{x - a, b - x\}\;,$ temos que $(x - \epsilon, x + \epsilon) \subset (a,b).$ Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
• $[a,b) \subset \mathbb{R},$ com $a < b\;$ não é aberto, pois, qualquer que seja $\epsilon > 0, (a - \epsilon, a + \epsilon) \not\subset [a,b).$

Propriedade dos conjuntos abertos

1. Os conjuntos $\mathbb{R}$ e $\emptyset\,$ são abertos.
2. A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
3. A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração

1. Imediato da definição.

2.Seja $\{O_\lambda\}\,$ uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice $\lambda\in\Lambda\,$ e seja:

$O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\,.$

Então se $x\in O\,,$ existe um $\lambda'\in\Lambda\,$ tal que $x\in\O_\lambda'\,.$

Como $O_\lambda'\,$ é aberto, existe um intervalo $(a,b)\,$ com $a<b\,$ tal que:

$x\in(a,b)\subseteq O_\lambda'\,$

Como $O_\lambda' \subseteq \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\,,$ temos que:

$x\in (a,b)\subseteq O\,$

E portanto $O\,$ é aberto.

3.Seja $\{O_k\}_{k=1}^{n}$ uma família finita de conjuntos aberto e seja $O=\bigcap_{k=1}^n O_k\,$ e $x\in O\,.$ Como $x\in O_k, k=1,\ldots,n\,$ e cada $O_k\,$ é aberto. Existem intervalos $(a_k,b_k)\,$ tais que:

$x\in (a_k,b_k)\subseteq O_k\,$

Naturalmente vale que $a_k<x<b_k\,.$ Agora definimos:

$a=\max \{a_k\}_{k=1}^n\quad b=\min \{b_k\}_{k=1}^n\,$

É fácil ver que $a<x<b\,$ e também que:

$x\in (a,b)\subseteq O_k, k=1,\ldots,n\,$

e portanto:

$x\in (a,b)\subseteq O\,.$

O que completa a demonstração.

Conjunto fechado

Ponto aderente

Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos x_n ∈ X ⊂ $\mathbb{R}.$

• Todo ponto a de um conjunto $X\,$ é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante $x_n=a\,.$

• Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto $X:=\left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty}\,$ possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.

Teorema

As seguintes afirmações são equivalentes:

1. a é ponto aderente de X
2. Para todo $\epsilon>0\,,$ existe um ponto $x\in X\,$ tal que $\left|x-a\right|\leq \varepsilon$
3. $B(a,\epsilon)\cap X \not = \varnothing\,$ para todo $\epsilon>0\,;$ Demonstração

1→2: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência $x_n\in X\,$ tal que $x_n \to a.$ Da definição de limite de sequências, para todo $\epsilon>0\,,$ existe um $x_k\,$ tal que $\left|x_k-a\right|\leq \varepsilon.$ Como $x_k\in X\,,$ basta definir $x=x_k\,$ e o resultado segue.

2→3:Suponha que $x\in X\,$ e $\left|x-a\right|\leq \varepsilon\,.$ Como $B(a,\epsilon)=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<\epsilon\right\},$ $x\in B(a,\epsilon)\,$ e o resultado segue.

3→1:Defina a sequência $x_n\,,$ escolhendo-os de forma que $x_n\in B(a,1/n)\cap X\,.$ Esta sequência tem a propriedade que $x_n\in X\,$ e $\left|x_n-a\right|<1/n\,,$ logo $x_n\to a\,$ e o resultado segue.

Fecho

Define-se o fecho de um conjunto X como é o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por $\bar{X}:$

$\bar{X} := \left\{ a \in \mathbb{R}: \forall \epsilon >0 . B(a,\epsilon) \cap X \not = \varnothing \right\}$

Exemplos

• Os fechos de $\mathbb{R}\,$ e $\varnothing\,$ são eles mesmos
• O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
• Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo $x \in \mathbb{R}\,$ uma sequência de números racionais $q_i\,$ que converge para x. Ou seja, o fecho de $\mathbb{Q}\,$ é $\mathbb{R}\,$
• Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de $\mathbb{N}\,$ e $\mathbb{Z}\,$ são eles mesmos.
• O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que $a + 1/n \in (a,b)\,.$ Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.

Definição de conjunto fechado

Um conjunto $X\,$ é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho: $X = \bar{X}\,$

Exemplos

• São fechados: $\mathbb{R}\,,$ $\varnothing\,,$ $\mathbb{N}\,,$ $\mathbb{Z}\,,$ [a, b].
• Não são fechados: $\mathbb{Q}\,,$ (a, b), (a, b], [a, b).

Teorema

Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.

a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:

$O=\mathbb{R}\backslash X\,$

Suponha por absurdo que $O\,$ não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto $x\in O\,$ tal que:

$\forall \epsilon>0; B(x,\epsilon)\nsubseteq O\,$

Como $O\cap X=\mathbb{R}\,$ temos que

$B(x,\epsilon)\nsubseteq O\Longrightarrow B(x,\epsilon)\cup X \neq \emptyset\,$

Esta propriedade implica que $x\in\bar{X}\,$ e como X é fechado,$x\in X\,,$ o que contraria a hipótese inicial de que $x\in O\,$ e $O=\mathbb{R}\backslash X\,.$

b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:

$X=\mathbb{R}\backslash O\,$

Suponha a existência de uma sequência $x_n\in X\,$ tal que:

$\lim_{n\to\infty}x_n=x\,$

Queremos mostrar que $x\in X\,.$ Suponha, por absurdo, que $x\notin X\,,$ ou seja, $x\in O\,.$ Como O é aberto, exite uma bola $B(x,\epsilon)\subseteq O\,.$ Escolha $x_N\,$ tal que $\left|x_N-x\right|<\epsilon\,.$ Isso implica $x_N\in B(x,\epsilon)\subseteq O\,,$ o que é uma contradição, já que $x_N\in X\,.$

Propriedades dos conjuntos fechados

1. Os conjuntos $\mathbb{R}$ e $\emptyset\,$ são fechados.
2. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
3. A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Ponto de acumulação

Ponto de acumulação

Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência $x_n\in X\,$ de pontos diferentes de x convergindo para x.

É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto $X=\{0\} \;$ possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante $x_n=0\,$ converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.

Ponto isolado

Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento $x\in X \,$ que não é ponto de acumulação.

Conjunto discreto

Diz-se que $X\,$ é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Seja $X\,$ um conjunto infinito e limitado, então $X\,$ possui pelo menos um ponto de acumulação.

Demonstração

Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito $[a,b]\,$ tal que $X\subset [a,b]\,.$ Defina $M_1\,,$ o ponto médio deste intervalo:

$M_1:=\frac{a+b}{2}\,$

como $X=\left(X\cap[a,M_1]\right)\cup\left(X\cap[M_1,b]\right)$ e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que $\left(X\cap[a,M_1]\right)$ ou $\left(X\cap[M_1,b]\right)$ possui infinitos pontos. Definimos então:

 : $\begin{array}{lll} a_1=M_1,&b_1=b,&\hbox{se } \left(X\cap[M_1,b]\right) \hbox{for infinito;} \\ a_1=a,&b_1=M_1,&\hbox{c.c.} \end{array}$

E define-se $X_1:=X\cap[a_1,b_1]\,,$ $X_1\,$ é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:

$M_{n+1}:=\frac{a_n+b_n}{2}\,:$ $\begin{array}{lll} a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_n,&\hbox{se } \left(X\cap[M_{n+1},b_n]\right) \hbox{for infinito;} \\ a_{n+1}=a_n,&b_{n+1}=M_{n+1},&\hbox{c.c.} \end{array}$

e, finalmente, $X_{n+1}:=X_n\cap[a_{n+1},b_{n+1}]\,,$ que será um conjunto de infinitos pontos. Observe que a sequência $a_n\,$ é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência $b_n\,$ é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:

$\lim_{n\to\infty} a_n\,$ e $\lim_{n\to\infty} b_n\,.$

Como $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\,,$ estes limites deve ser idênticos:

$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} b_n=:x^*\,.$

Vamos mostrar agora que $x^*\,$ é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo $\epsilon>0\,$ o conjunto $B(x^*,\epsilon)\cap X$ possui infinitos pontos. De fato, fixe $\epsilon>0\,$ e escolha n tal que:

$b_n-a_n<\epsilon\,$

Como $x\in [a_n,b_n]\,,$ temos que $[a_n,b_n]\subseteq B(x^*,\varepsilon)\,.$ Logo $B(x^*,\epsilon)\cap X\supseteq [a_b,b_n]\cap X = X_n.$ Como $X_n\,$ é infinito por construção, $x^*\,$ é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.

Aplicação

Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:

Todo sequência limitada de números reais admite uma sub-sequência convergente.

Teorema (Propriedade dos intervalos encaixantes)

Se $F_n\,$ é uma sequência de conjuntos fechados, limitados e não-vazios tais que $F_{n+1}\subseteq F_n\,,$ então a intersecção destes conjuntos é não vazia. Isto é:

$\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\neq \emptyset\,;$ Demonstração

Como cada $F_n\,$ é não vazio é possível construir a sequência $x_n\,$ tal que:

$x_n\in F_n\,$

Do fato de os conjuntos $F_n\,$ são limitados, passando a uma subsequência se necessário, pode-se supor $\{x_n\}\,$ é uma sequência convergente para algum real $x^*\,.$

De $F_k\subseteq F_n\,$ se $k\geq n\,,$ temos que $\{x_n\}_{n=k}^{\infty}\subseteq F_k\,$ e como cada um destes conjuntos é fechados, $x^*\in F_k\,$ para todo k. Daí temos que o limite $x^*\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\,$ e o resultado segue.

Distância de um conjunto a um ponto

A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto $x\in \mathbb{R}\,$ pertence ao fecho $\overline{S}\,$ de um conjunto $S\,$ se e somente se a distância se $S\,$ ate $x\,$ é nula.

Definimos a distância entre um conjunto $S\subseteq \mathbb{R}\,$ e um ponto $x\in\mathbb{R}\,$ como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.

$\hbox{dist}(S,x):=\inf_{y\in S} |x-y|\,$

Propriedades

1. $\hbox{dist}(S,x)>0 \Longrightarrow x\notin S\,$
2. $\hbox{dist}(S,x)=\hbox{dist}(\overline{S},x) \,$
3. $x\in \overline{S} \Longleftrightarrow \hbox{dist}(S,x)=0\,;$ Demonstração

1. Se $\hbox{dist}(S,x)>0\,,$ todo ponto $y\in S\,$ tem a propriedade que:

$|x-y|\geq \hbox{dist}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,$

e o resultado segue.

2. Do fato que $S\subseteq \overline{S}\,$ e da definição de ínfimo, temos:

$\hbox{dist}(S,x)\geq\hbox{dist}(\overline{S},x) \,$

Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto $x\in\mathbb{R}\,$ e defina

$\delta:=\hbox{dist}(\overline{S},x) \,$

Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_n\}\,$ tal que

$y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<\delta+1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,$

Como $y_n\in\overline{S}\,,$ da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos $z_n\,$ tais que:

$z_n\in S\hbox{ e } |z_n-y_n|<1/n\,$

Da desigualdade triangular, temos:

$|z_n-x|\leq|z_n-y_n|+|y_n-x|<\delta+2/n\,$

Agora, basta estimar:

$\hbox{dist}(S,x)\leq \inf_{n=1}^{\infty}|z_n-x|= \delta= \hbox{dist}(\overline{S},x) \,$

E o resultado segue.

3. Resta-nos demonstrar que se $F\,$ é um conjunto fechado então $\hbox{dist}(F,x)=0\Longrightarrow x\in F\,$ Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência $\{y_n\}\,$ tal que

$y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,$

Da definição de limite, temos que:

$\lim_{n\to\infty}y_n=x\,$

Como $F\,$ é um conjunto fechado, o limite $x\,$ da sequência $\{y_n\}\,$ deve pertencer a $F\,.$ Assim, o resultado segue.

Conjuntos compactos

Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.

Todo compacto é fechado e limitado

a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência $x_n\in X\,$ que converge para um número real x\notin X. Como $\{x_n\}\,$ é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de $\{x_n\}$ converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.

b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência $x_n\in X\,$ tal que $|x_n|>n\,.$ Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.

Todo conjunto fechado e limitado é compacto

Suponha que X é fechado e limitado e seja $\{x_n\}\,$ uma sequência contida em X. A sequência $\{x_n\}\,$ é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite $x^*\,,$ como X é fechado, $x^*\in X\,,$ o que completa a demonstração.

Compacidade no sentido de Heine-Borel

Seja $X\,$ um conjunto na reta e $\{O_\lambda\}\,$ um coleção de conjuntos abertos $O_\lambda\,$ indexados por um índice $\lambda\in\Lambda\,.$ Dizemos que $\{O_\lambda\}\,$ é uma cobertura de $X\,$ se:

$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\supseteq X\,$

Exemplos de cobertura

• A família de abertos $\left\{O_n\right\}_{n=1}^{\infty}\,$ dada por $O_n=(-n,n)\,$ é uma cobertura para o conjuntos dos número reais, $\mathbb{R}\,$
• A família de abertos $\left\{O_n\right\}_{n=1}^{\infty}\,$ dada por $O_n=(1-1/n,1+1/n)\,$ é uma cobertura do intervalo $(-1,1)\,.$
• A família de abertos $\left\{O_\lambda\right\}\,$ dada por $O_\lambda=(-\lambda,\lambda)\,,$ onde o índice $\lambda\,$ pertence a $(0,1)\,$ é uma cobertura do intervalo $(-1,1)\,.$

Subcobertura

Seja $\{O_\lambda\},~~ \lambda\in\Lambda\,$ uma cobertura de $X\,$ e $\Gamma\subseteq \Lambda\,.$ Dizemos que $\{O_\gamma\},~~ \gamma\in\Gamma\,$ é uma subcobertura de $\{O_\lambda\},~~ \lambda\in\Lambda\,$ se $\{O_\gamma\},~~ \gamma\in\Gamma\,$ é também uma cobertura de X.

Teorema de Heine-Borel

Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:

Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.

Demonstração

Começamos demonstrando o seguinte lema:

Lema

Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e $x\notin K\,,$ então $\hbox{dist}(K,x)>0\,;$ Demonstração

Define-se:

$r(y)=\frac{|x^*-y|}{2}, \forall y\in\mathbb{R}^n$

É claro que $r(y)>0\,$ para todo ponto $y\,$ em $K\,.$

Agora constróem-se os abertos:

$O_{y}=B(y,r(y)), \forall y\in K,$ ou seja, a bola de centro y e raio $r(y)\,$

Eles formam uma cobertura para $K:$

$K=\bigcup_{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup_{y\in K}O_y$

Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos $y_1,y_2,\ldots, y_n \in K\,$ tais que:

$K\subseteq \bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}$

Da simples definição de $O_{y}\,,$ sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em $y^*\,$ de raio $r(y)\,:$

$O_{y}\bigcap B(x^*,r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^*,r(y))=\emptyset$

Define-se:

$\delta=\min_{k=1}^{n} r(y_k)\,$

temos:

$O_{y_k}\bigcap B(x^*,\delta)=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,\delta)\subseteq B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,r(y_k))=\emptyset,\forall k=1,\ldots,n$

Tomando a união, temos:

$K\bigcap \left(B(x^*,\delta)\right)\subseteq \left(\bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}\right)\bigcap B(x^*,\delta)=\emptyset$

O que completa a demonstração.

Todo conjunto de Heine-Borel é fechado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja $x\notin K\,,$ pelo lema anterior $\hbox{dist}{K,x}>0\,$ e, portanto, $x\notin \overline{K}\,,$ isso significa que:

$K^c\subseteq \overline{K}^c\Longrightarrow \overline{K}\subseteq K\,$

e portanto K é fechado.

Todo conjunto de Heine-Borel é limitado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:

$K\subseteq \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,n)\,$

Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:

$K\subseteq \bigcup_{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,$

Logo K é limitado.

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Teoria dos conjuntos

O objetivo deste livro não é estudar a teoria dos conjuntos. Para isto, sugere-se:

• Matemática elementar/Conjuntos - capítulo Conjunto do livro Matemática elementar, texto bem básico
• Álgebra abstrata/Conjuntos - capítulo Conjuntos do livro Álgebra abstrata, no mesmo nível do conhecimento necessário para Análise real
• Teoria dos conjuntos - texto avançado, analisando a teoria do ponto de vista axiomático

Espaços métricos

Um espaço métrico (X,d) é um conjunto X dotado de uma função $d:X^2\to \mathbf{R}\,$ chamada métrica ou distância que associa a cada par de elementos de X uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:

• $d(x,y)\,$ é um número real, não negativo e finito
• $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)\,$ (simetria)
• $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdade triangular)

Exemplos

• O espaço vetorial euclidiano $(\R^n,d)$, onde $d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\sqrt{(y_1-x_1)^2+\cdots+(y_n-x_n)^2}$, é um espaço vetorial de dimensão $n\,$
  • É importante notar que a distância acima definida não é a única que satisfaz os axiomas de espaço métrico; porém, pela sua importância, ela é considerada a métrica canônica no $\R^n\,$. Outras métricas são:
  • $d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\max(|y_1-x_1|, \cdots , |y_n-x_n|)$
  • $d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=|y_1-x_1|+\cdots+|y_n-x_n|$

• $(X,d)\,$, onde $d(x,y)= \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{se }x=y \\ 1, & \mbox{se }x\neq y \end{matrix} \right.$ é denominado de espaço métrico discreto.

• Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)

Convergência em espaços métricos

Diz-se que uma sequência de pontos $x_n\in X\,$ converge para um ponto $x\in X\,$ se e somente se:

$\lim_{n\to\infty}d(x,x_n)=0\,$

Diz-se que uma sequência de pontos $x_n\in X\,$ é de Cauchy se para todo $\varepsilon>0\,$, existe um N tal que

$d(x_n,x_m)<\varepsilon, \forall n,m>N\,$

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy.

Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.

Teorema: Um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é um espaço métrico completo.

Ver também

Espaço métrico (topologia)

Espaços normados

Análise real/Espaços normados

Espaços conexos

Análise real/Espaços conexos

Secção 3 Exercícios

Análise real/Secção 3 Exercícios

Limites

Definição

Lembrar que uma função de um conjunto X para um conjunto Y é uma aplicação $f:X \mapsto Y$ tais que f(x) é o único elemento de Y para cada $x\in X$. Na análise, temos tendência para falar de funções a partir de subconjuntos $A \subseteq \mathbb{R}$ para $\mathbb{R}$.

A definição para o limite de uma função é quase a mesma que a definição de uma seqüência. De fato, como veremos mais adiante, é possível definir limites funcionais, em termos de limites seqüenciais. Para o momento, porém, vamos apenas dar a definição:

Dado um subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ e uma função $f:A\mapsto \mathbb{R}$, nós dizemos que o $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L, \; se \; \forall \; \epsilon > 0, \exists \delta > 0; \forall x \in D_f, 0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

A exigência $0<|x-c| \;$ é um pouco técnico. É uma expressão que da a idéia de que o comportamento de uma função perto de um ponto não deve ser prejudicado pelo seu comportamento no ponto. Desta forma f(x) não precisa ser definida em c para ter um limite aí.

Esta definição dá um monte de problemas para um monte de gente, por isso é melhor passar algum tempo intrigante com isso, exemplos de trabalho, etc. Uma forma de conceituar a definição é esta: $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L$ significa que nós podemos fazer f(x) tão próximo quanto gostarmos de L, fazendo x perto de c.

Limite em um ponto de acumulação

Sejam $f:A\to\mathbb{R}\;$ uma função definida em um conjunto $A\subseteq\mathbb{R}\;$ e $x_0\in A' \;$. Diz-se que existe o limite de $f(x)\,$ quando $x\,$ tende a $x_0\,$ e denota-se por:

$\lim_{x\to x_0}f(x)\,$

quando existe um $L\in\mathbb{R}\,$ com a propriedade de que, para todo $\varepsilon>0\,$, existe um $\delta>0\,$ tal que:

$0 < \left|x-x_0\right| \leq \delta \Longrightarrow \left|f(x)-L\right|<\varepsilon \,$

Observe cuidadosamente que $f(x_0)\,$ não precisa estar definido e, quando está, não necessariamente vale

$f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)\,$.

Teorema (Unicidade do limite)

Seja $A \subseteq \mathbb{Q}, f:A\mapsto\mathbb{R}, x_0 \in A'$.
Se $\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 \; e \; \lim_{x\to x_0}f(x)=L_2$, então $L_1=L_2 \;$

Prova

Pela definição de limite temos

• (1)$\forall \; \epsilon > 0, \exists \; \delta >0; \; x \in A; |x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L_1|<{\epsilon \over 2}$
• (2) $\forall \; \epsilon > 0, \exists \; \delta >0; \; x \in A; |x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-L_2|<{\epsilon \over 2}$

Seja $\delta = min \{ \delta_1,\delta_2 \} \;$. Como $x_0 \in A'$ logo $\exists \; x_\delta \in (x-\delta, x+\delta)$
De fato $x_0 \in (x-\delta, x+\delta)$.
$|L_1 - L_2| = |L_1 - f(x) + f(x)- L_2| < |L_1 - f(x)| + |f(x)- L_2| < \epsilon \;$

$\;$

Teorema (do Confronto aplicado no limite)

Sejam $D \subseteq \mathbb{Q}, f,g,h:D\mapsto\mathbb{R}, x_0 \in D'$.

• $Se \; f(x)<g(x)<h(x), \forall x \in D - \{a\} \; e \; \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0}h(x)= L$, então $\lim_{x\to x_0}g(x)= L$

Limite Sequencial

Poderíamos muito bem ter dado a seguinte definição do limite:

Dado um subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ e uma função $f:A\rightarrow \mathbb{R}$, dizemos que o $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L$ se $\forall (x_n)_{n=1}^{\infty}$ tal que $x_n \not= c, \lim_{n \rightarrow \infty}(x_n) = c$, e $\lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)) = L$

Note-se que o requisito $x_n \not= c$ corresponde com a exigência $|x - c| > 0$.

Como um exercício para testar sua compreensão, prove que estas duas definições são equivalentes. Note-se que tendo o contrapositive dá um bom critério para determinar se ou não uma função diverge:

Se $\exists (x_n), (y_n): (x_n)\rightarrow c, (y_n)\rightarrow c$, e $\lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)) \not= \lim_{n \rightarrow \infty}(f(y_n))$, então $\lim_{x \rightarrow c}f(x)$ não existe.

Comportamento de uma Função Composta sendo aplicado a um limite

Seja $D,E \subset \mathbb{R}$

Teorema (função composta aplicado no Limite)

$\;$

Limites no infinito

Podemos definir o que significa para uma função divergir para o infinito, e o que significa para uma função ter um limite no infinito:

• Dizemos que $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = \infty$ se $\forall M>0: \exists \delta: 0<|x-c|<\delta \implies f(x)>M$.

• Dizemos que $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = -\infty$ se $\forall M>0: \exists \delta: 0<|x-c|<\delta \implies f(x)<-M$

• Dizemos quet $\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = L$ se $\forall \epsilon > 0: \exists M: x > M \implies |f(x)-L|<\epsilon$.

• Dizemos quet $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = L$ se $\forall \epsilon > 0: \exists M: x < -M \implies |f(x)-L|<\epsilon$.

Como exercício, veja se você pode definir o que significa para uma função ter limite $\infty$ como $x \rightarrow \infty$.

Continuidade

Agora que definimos o limite de uma função, estamos prontos para definir o que significa para uma função ser contínua. A noção de Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.

Definição (Continuidade em um Ponto)

Seja $A\subseteq\mathbb{R}$; $f:A\to\mathbb{R}$; $c\in A$; Dizemos que $f(x) \;$ é contínua em $c \;$ se, e somente se, para todo $\epsilon > 0\,$, existe um $\delta > 0\,$ tal que:

• $x \in A, |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$

Definição (Continuidade em um Conjunto)

Seja $A\subset D\subseteq\mathbb{R}$; $f:A\to\mathbb{R}$; $c\in A$;. Dizemos que $f$ é contínua em $A \;$ se $f$ é contínua em $c \;$, para todo $c \in A$.

Dizemos que $f \;$ em si é contínua, se esta condição vale para todos os pontos em $A$.

Se $A \;$ é uma união de intervalos, a declaração é equivalente a dizer que $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.

Exemplos

• A função identidade $f(x) = x$ é contínua em toda a reta. De fato, dado $\epsilon > 0$ e $x_0$ real, tomando $\delta = \epsilon$, temos que, se $|x - x_0| < \delta = \epsilon$.

• A função quadrado $f(x) = x^2$ também é contínua em toda a reta.

Demonstração

Dado $\epsilon > 0$, e $x_0$ real, temos

$|x^2 - (x_0)^2| = |x + x_0||x - x_0|$.

Como estamos trabalhando com $x$ próximo de $x_0$, temos

$|x + x_0| < C$, para algum $C$ real.

Definindo $\delta = \epsilon/C$, se

$|x - x_0| < \delta \Rightarrow |x - x_0| < \epsilon/C \Rightarrow |x + x_0||x - x_0| < C|x - x_0| < \epsilon$.

Portanto $f$ é contínua em $x_0$, para todo $x_0$ real.

• A função $f(x)= x^n\,$ é contínua em toda a reta para qualquer natural n.

Demonstração

Fixemos um ponto $x_0\in\mathbb{R}\,$ e $\varepsilon>0\,$, e procedemos com a fatoração da potência:

$f(x)-f(x_0) = x^n-x_0^n = (x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-k-1}$

Definamos, agora,

$\delta=\min\left[\frac{\varepsilon}{ n(|x_0|+1)^{n-1}},1\right]$

Por definição, $\delta\leq 1\,$, portanto, se $\left|x-x_0\right|<\delta\,$, temos:

$|x|= |x_0 + (x-x_0)|\leq |x_0|+|x-x_0|\leq |x_0|+\delta \leq |x_0|+1\,$

Assim:

$\left|f(x)-f(x_0)\right| = \left|(x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-k-1}\right| \leq \delta \sum_{k=0}^{n-1} |x^k|\cdot |x_0|^{n-k-1}\leq \varepsilon$

Proposição (Operações com funções Contínuas)

Sejam $f,g:D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funções contínuas e $\lambda$ um número real, então valem as seguintes propriedades:

• $f + g \;$ é contínua;
• $fg \;$ é contínua;
• $\lambda f \;$ é contínua;
• $f/g \;$ é contínua em todos os pontos onde $g \;$ não se anula.

Descontinuidade

Podemos usar limites seqüenciais para provar que funções são descontínuas da seguinte forma:

• $f(x)$ é descontínua em $c \;$ se, e somente se, houver duas seqüências $(x_n)\rightarrow c$ e $(y_n)\rightarrow c$ tal que $\lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)) \not= \lim_{n \rightarrow \infty}(f(y_n))$.

Composição

Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:

Teorema

Se $f:B\rightarrow \mathbb{R}$ e $g:A\mapsto B$ são contínuas, então a composição $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ é contínua sobre A.

Prova

Seja $\epsilon>0$; $c \in A$.

Uma vez que f é contínua, $\exists \delta_1 > 0: |x-c|<\delta_1 \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.

Desde que g é contínua, $\exists \delta_2 > 0: |x-c|<\delta_2 \implies |g(x)-g(c)|<\delta_1$.

Assim $|x-c|<\delta_2 \implies |g(x)-g(c)|<\delta_1 \implies |f(g(x))-f(g(c))|<\epsilon$, por isso $(f \circ g)(x)$ é contínua sobre A.

O Teorema do Valor Intermediário

Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.

Teorema (do Valor Intermediário)

Seja f(x) uma função contínua. Se $a<b \;$ e $f(a)<m<f(b) \;$, então $\exists c \in (a,b): f(c) = M$.

Prova

Seja $S = \{x \in (a,b): f(x) < m\}$, e seja $c = \sup S$.

Seja $\epsilon = |f(c) - m|$. Pela continuidade, $\exists \delta: |x-c|< \delta \implies |f(x)-f(c)|< \epsilon$.

Se f(c) < m, então $|f(c+\frac{\delta}{2}) - f(c)| < \epsilon$, por isso $f(c+\frac{\delta}{2}) < f(c) + \epsilon = m$. Mas então $c + \frac{\delta}{2} \in S$, o que implica que c não é um limite superior para S, uma contradição.

Se f(c) > m, desde então $c = \sup S$, $\exists x: x \in S, c>x>c-\delta$. Mas desde que $|x-c|<\delta, \; |f(x)-f(c)|<\epsilon$, por isso $f(x)> f(c) - \epsilon$ = m, o que implica que $x \notin S$, uma contradição. $\Box$

Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.

Teorema Mínimo-Máximo

Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ contínuo

Então
(i)$f([a,b])$ é limitado

(ii)Se $M,m$ são respectivamente o limite superior e inferior do $f([a,b])$, então existem $c,d\in [a,b]$ tais que $f(c)=M,f(d)=m$

Prova

(i)Suponhamos que, se possível $f$ é ilimitado.

Seja $x_1=\tfrac{a+b}{2}$. Em seguida, $f \;$ é ilimitado em pelo menos um dos intervalos fechados $[a,x_1]$ e $[x_1,b] \;$ (para outra, $f \;$ seria ilimitada sobre $[a,b]$ contradizendo a hipótese). Chamar este intervalo $I_1$.

Similarmente, partindo $I_1$ em dois intervalos fechados e deixar $I_2$ ser um dos quais $f$ é ilimitado.

Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes $[a,b]\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\ldots$ tais que $f \;$ é ilimitada sobre cada um deles.

Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja $x_0\in I_1\cap I_2\cap\ldots$

Como $f(x) \;$ é contínua em $x=x_0$, existe $\delta >0$ tal que $x\in V_{\delta}(x_0)\implies f(x)\in (f(x_0)-1,f(x_0)+1)$ Mas, por definição, existe sempre $k\in\mathbb{N}$ tal que $I_k\subseteq V_{\delta}(x_0)$, contradizendo a hipótese de que $f \;$ é ilimitado sobre $I_k$. Assim, $f \;$ é limitada sobre $[a,b]$

(ii) Considere-se, se possível, $M=\sup (f([a,b]))$ mas $M\notin f([a,b])$.

Considere a função $g(x)=\frac{1}{M-f(x)}$. Pela propriedade algébricas de continuidade, $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ é contínuo. No entanto, $M \;$ sendo um ponto relativo de $f([a,b])$, $g(x) \;$ é ilimitado sobre $[a,b]$, contradizendo (i). Daí, $M\in f([a,b])$. Da mesma forma, podemos mostrar que $m\in f([a,b])$.

Uso Geral

Como se referiu, a ideia de funções contínuas é utilizado em várias áreas da matemática, mais notavelmente na Topologia. A caracterização diferente de continuidade é útil em tais situações.

Teorema

Seja $A\subseteq\mathbb{R}$
Seja $f:A\to\mathbb{R}$

$f(x)$ é contínua em $x=c \;$ se, e somente se, para cada vizinhança aberta $V$ de $f(x) \;$, existe uma vizinhança aberta $U$ de $x$ tal que $U\subseteq f^{-1}(V)$

Deve ser mencionado aqui que o termo "Conjunto aberto" pode ser definido em geral muito mais do que o conjunto de definições reais ou mesmo espaços métricos, e daí a utilidade desta caracterização.

Continuidade uniforme

Seja $A\subseteq\mathbb{R}$
Seja $f:A\to\mathbb{R}$

Dizemos que $f \;$ é uniformemente contínua sobre $A \;$ se, e somente se, para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que, se $x,y\in A$ e $|x-y|<\delta$ então $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

Ver também

Continudade no wiki em inglês

Variação total

Oscilação

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real. Definimos a oscilação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

• $\hbox{osc}_{[a,b]}(f):=\sup_{[a,b]}f(x)-\inf_{[a,b]}f(x)\,$

Propriedades

• Se $f\,$ é um função não decrescente, então:

$\hbox{osc}_{[a,b]}(f)=f(b)-f(a)\,$

• Se $f\,$ é um função não crescente, então:

$\hbox{osc}_{[a,b]}(f)=f(a)-f(b)\,$

Variação em uma partição

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um partição $P:=\left\{x_0:=a,x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},x_n:=b\right\}\,$ de um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

• $\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,$

Propriedades

1. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real definida em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então:

$\hbox{var}_{P}(\alpha f)=|\alpha|\hbox{var}_{P}(f),~~ \forall \alpha\in\mathbb{R}\,$

Demonstração

Imediato da definição.

2. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função monótona definida em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então:

$\hbox{var}_{P}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

Demonstração

Considere, sem perda de generalidade, que $f\,$ é uma função crescente, da definição de variação temos:

$\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,$

Como $x_i\geq x_{i-1}\,$, temos que $\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|=f(x_i)-f(x_{i-1})\geq 0\,$, logo:

$\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

3. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e sejam $f:D\to\mathbb{R}\,$ e $g:D\to\mathbb{R}\,$ funções reais definidas em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então:

$\hbox{var}_{P}(f+g)\leq \hbox{var}_{P}(f)+\hbox{var}_{P}(g)\,$

Demonstração

$\begin{array}{rcl} \hbox{var}_{P}(f+g)&:=&\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)+g(x_1)-f(x_{i-1})-g(x_{i-1)}\right|\\ &\leq& \sum_{i=1}^n\left(\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|+\left|g(x_i)-g(x_{i-1})\right|\right)\\ &=&\hbox{var}_{P}(f)+\hbox{var}_{P}(g) \end{array} \,$

4. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real definida em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então, se P' é um refinamento de P

$\hbox{var}_{P}f\leq \hbox{var}_{P'}(f)\,$

Demonstração

Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto $x_{k-1}\leq x'\leq x_{k}\,$. Como a seguinte desigualdade é válida:

$\left|f(x_{k-1})-f(x_{k})\right|\leq \left|f(x_{k-1})-f(x')\right|+\left|f(x')-f(x_{k})\right|\,$

o resultado segue.

Variação total

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

• $\hbox{var}_{[a,b]}(f):=\sup_{P\in\mathbb{P}}\hbox{var}_P(f)\,$

O supremo é tomado em $\mathbb{P}\,$, o conjunto de todas as possíveis partições de $[a,b]\,$.

Propriedades

As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.

1. Se $f\,$ é um função monótona, então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

2. Se $f\,$ uma função real, então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)\geq \hbox{var}_{[c,d]}(f)\,$, sempre que $a\leq c\leq d\leq b\,$.

3. Se $f\,$ e $g\,$ são funções reais, vale

$\hbox{var}_{[a,b]}(f+g)\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)+\hbox{var}_{[a,b]}(g)\,$,

4. Se $f\,$ uma função real, então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)= |\alpha|\hbox{var}_{[a,b]}(f),~~\forall~\alpha\in\mathbb{R}\,$,

5. Se $f\,$ uma função real, então:

$\hbox{var}_{[a,c]}(f)= \hbox{var}_{[c,b]}(f)+\hbox{var}_{[b,c]}(f),~~\forall~c\in[a,b]\,$,

Função de variação limitada

Diz-se que uma função real $f:D\to\mathbb{R}\,$ é de variação limitada em um intervalo $[a,b]\,$ se e somente se:

$\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty\,$

Teorema

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função de classe $C^1[a,b]\,$, então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\int_a^b |f'(x)|dx\,$

Demontração

Primeiro observamos que se $P\,$ é uma partição do intervalo $[a,b]\,$, podemos escrever, usando o teorema do valor médio:

$\hbox{var}_{P}{f}=\sum_{i=1}^n\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|=\sum_{i=1}^n\left|f'(x_i^*)\right|(x_i-x_{i-1}),~~~x_i^*\in (x_{i-1},x_i)\,$

Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições $P_k=\left(x_0^k,x_1^k,\ldots,x_{n_k}^k\right),\,$ tal que:

$0\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)-\hbox{var}_{P_k}(f)\leq 1/k\,$

Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições $P_k\,$ está convergindo para zero. Assim:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\lim_{k\to\infty}\hbox{var}_{P_k}(f)=\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^{n_k}\left|f'(x_i^k*)\right|(x_i^k-x_{i-1}^k)=\int_{a}^b |f'(x)|dx\,$

Teorema

Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.

Demontração

a.Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função de variação limitada em $D\,$. Define-se a função $F:D^2\to\mathbb{R}\,$ da seguinte forma:

$F(x_0,x)=\left\{ \begin{array}{ll} \hbox{var}_{[x_0,x]}(f),&x_0\leq x\\ -\hbox{var}_{[x_0,x]}(f),&x_0> x\\ \end{array} \right. \,$

Fixando um $x_0\in D\,$ é uma função não decrescente em $x\,$.

Agora define-se:

$\begin{array}{l} p(x)=\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)+f(x)\right]\\~\\ q(x)=\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)-f(x)\right] \end{array}$.

É fácil ver que $f(x)=p(x)-q(x)\,$. Resta-nos provar que tanto $p(x)\,$ como $q(x)\,$ são funções não decrescentes. Para tal, seja $y>x\,$ e fazemos a seguinte estimativa:

$\begin{array}{rcl} p(y)-p(x)&=&\frac{1}{2}\left[F(x_0,y)+f(y)\right]-\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)+f(x)\right]\\ &=&\frac{1}{2}\left[F(x_0,y)-F(x_0,x)\right]+\frac{1}{2}\left[f(y)-f(x)\right]\\ &=&\frac{1}{2}\left[\hbox{var}_{[y,x](f)}\right]+\frac{1}{2}\left[f(y)-f(x)\right]\geq 0 \end{array}$

Da penúltipla para a última linha usamos $F(x_0,y)-F(x_0,x)=\hbox{var}_{[x_0,y](f)}-\hbox{var}_{[x_0,x](f)}=\hbox{var}_{[x,y](f)}$ e depois observamos que $\hbox{var}_{[x,y](f)}\geq \left|f(x)-f(y)\right|$.

A demontração sendo perfeitamente análoga para a função $q(x)\,$, o resultado segue.

Existência de uma função contínua que não é de variação limitada

Considere a função:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x\cos\left(\frac{\pi}{x}\right),&x\neq 0\\ 0,&x =0 \end{array} \right.$

Esta função não é de variação limitada no intervalo $[0,1]\,$. Para provar isso considere o seguintes pontos:

$x_n=\frac{1}{n+1},\quad f(x_n)=\frac{1}{n+1}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots\,$

Assim

$\left|f(x_n)-f(x_{n-1})\right|=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}>1/n, n=1,2,3,\ldots\,$

Portanto, $\hbox{var}_{[0,1]}(f)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty\,$

Função exponencial

Análise real/Função exponencial

Secção 4 Exercícios

Análise real/Secção 4 Exercícios

Derivadas

Definição

Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, e seja $a\in\mathbb{R}$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=a$ se, e somente se, existir $L\in\mathbb{R}$ tal que

$\lim_{x \rightarrow a} {f(x)-f(a) \over x-a}=L$.

$L$ é dita a derivada de $f$ em $a$ e é denotada por $f'(a)$.

A função é dita diferenciável no conjunto $A$ se a derivada existir para cada $a \in A$. A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.

Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.

Propriedades

Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:

Propriedades básicas

Se f e g são diferenciáveis, então:

• $(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$

• $(\lambda f)'(x) = \lambda f'(x)$

Demonstração

• $(f+g)'(x) = \lim_{y \rightarrow x} {(f(y)+ g(y))-(f(x)+g(x)) \over y-x}$

  $= \lim_{y \rightarrow x} \left ( {f(y) - f(x) \over y-x} + {g(y) - g(x) \over y-x} \right )$

  $= \lim_{y \rightarrow x} {f(y) - f(x) \over y-x} + \lim_{y \rightarrow x} {g(y) - g(x) \over y-x} = f'(x) + g'(x)$

• $( \lambda f)'(x) = \lim_{y \rightarrow x} { \lambda f(y) - \lambda f(x) \over y-x} = \lambda \lim_{y \rightarrow x} {f(y) - f(x) \over y-x} = \lambda f'(x)$

Teorema (diferenciabilidade implica continuidade)

Se $f$ é diferenciável em $x$, então ela é contínua em $x$.

Demonstração

Uma vez que $f$ é diferenciável em $x$, $\lim_{y \rightarrow x} {f(y)-f(x) \over y-x} = f'(x)$.

Então $\lim_{y \rightarrow x} \left[ f(y)-f(x) \right] = \lim_{y \rightarrow x} {f(y)-f(x) \over y-x} \lim_{y \rightarrow x} \left( y-x \right) = f'(x) \; 0 = 0$

Assim, $\lim_{y \rightarrow x} f(y) = f(x)$, então f é contínua em x.

Teorema (regra do produto)

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis, então $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.

Prova

$(fg)'(x) = \lim_{y \rightarrow x} {f(y)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}$

$= \lim_{y \rightarrow x} {f(y)g(y)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}$

$= \lim_{y \rightarrow x} ({f(y)-f(x))g(y)+f(x)(g(y)-g(x)) \over y-x}$

$= \lim_{y \rightarrow x} {f(y)-f(x) \over y-x}\lim_{y \rightarrow x} g(y) + f(x) \lim_{y \rightarrow x} {g(y)-g(x) \over y-x}$

$= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$, uma vez que g é contínua em x. $\blacksquare$

O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:

$(f \circ g)'(x) = \lim_{y \rightarrow x} {f(g(y))-f(g(x)) \over y-x}$

$= \lim_{y \rightarrow x} {f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}{g(y)-g(x) \over y-x}$

$= \lim_{y \rightarrow x} {f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}\lim_{y \rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}$

$= f'(g(x))g'(x)$

O problema é que $g(y) - g(x)$ pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte, ${f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}$ não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:

Lema (Caratheodory)

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Dizemos que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$ se, e somente se, existe uma função contínua $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfaz

$(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c) \quad\forall x\in\mathbb{R}$

Prova

• Seja $f(x)$ diferenciável em $x=c$ e defina a função $\phi :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que

$\phi (x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \mbox{ para } x\neq c$ e

$\phi (c)=f'(c)$

É fácil ver que $\phi (x)$ é contínua e preenche a condição exigida.

• Seja $\phi (x)$ uma função contínua que satisfaz $(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c) \quad\forall x\in\mathbb{R}$. Temos, $\forall x\neq c$, que

$\phi (x) = \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

Como $\phi$ é contínua, $\phi (c)=\lim_{x\to c}\phi (x)$, ou seja,

$\phi (c)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$, o que implica que $f(x)$ é diferenciável em $x=c$.

Teorema (regra da cadeia)

Seja $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferenciável em $c\in\mathbb{R}$ e seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferenciável em $d=g(c)$. Então

(i) $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$;

(ii) $(f\circ g)'(c)=f'(g(c))\,g'(c)$.

Prova

O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas $\phi,\gamma :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tais que

$(x-c)\gamma (x)=g(x)-g(c)$ e

$(g(x)-g(c))\phi (x)=f(g(x))-f(g(c))$.

Agora, considere a função $\eta (x)=\phi (x)\gamma (x)$. Obviamente, $\eta (x)$ é contínua. Além disso, ela satisfaz

$(x-c)\eta (x)=(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)$.

Assim, pelo Lema de Caratheodory, $(f\circ g)(x)$ é diferenciável em $x=c$ e vale $(f\circ g)'(c)=\eta (c)=f'(g(c))\,g'(c)$.

Exemplos

Considere $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x$. Qual é a derivada de $f$ em $a$?

$f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h}$

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a+h - a}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} 1 = 1$

Assim, aqui vemos que $f'(a) =1$. Uma vez que $a$ foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que $f'(a) = 1 \quad\forall a \in \mathbb{R}$.

Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.

Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.

Exercícios

• Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
• Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem $f(x) = \operatorname{sen} \left( \frac{1}{x} \right)$.
  1. Prove que $f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen} \left( \frac{1}{x} \right) & \text{ para todo } x\neq 0 \\ 0 & \text{ para } x = 0\end{cases}\$ não é contínua em $x=0$.
  2. Prove que a função $f(x) = \begin{cases} x\,\operatorname{sen} \left( \frac{1}{x} \right) & \text{ para todo } x\neq 0 \\ 0 & \text{ para } x = 0\end{cases}\$ é contínua, mas não diferenciável em $x = 0$.
  3. Prove que $f(x) = \begin{cases} x^2 \,\operatorname{sen} \left( \frac{1}{x} \right) & \text{ para todo } x\neq 0 \\ 0 & \text{ para } x = 0\end{cases}\$ é diferenciável em $x=0$.

Aplicações

Análise real/Aplicações

L'Hopital

Análise real/L'Hopital

Secção 5 Exercícios

Análise real/Secção 5 Exercícios

Integral de Riemann

A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.

• Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.

Propriedades de uma área no $\mathbb{R}^2$

• Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
• Por ser 0<y<f(x), temos que $f(x)>0; \forall x \in \mathbb{R}$.

Partição do domínio [a,b]

• Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
• (f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
• Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos $P_1 = \{ t_0; t_1; t_2 \} \mbox{ com } t_0=a \mbox{ e } t_2 = b$. Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em $[t_0, t_1] \mbox{ e } [t_1, t_2]$
• Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
• Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

Soma inferior e soma superior

• (A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a

Sejam $m = \mbox{inf} \{ f(x);x \in [a,b] \} \mbox{ e } M = \mbox{sup} \{f(x);x \in [a,b]\}$

$m(b-a) \le M(b-a)$. Tomando $P_0 = \{ a, b \} \mbox{ temos } \underline{S}(f;P_0) \le \overline{S}(f;P_0)$

• (A2) Sejam $m_i \; e \; M_i$; menor e maior "altura" do retângulo de base $t_i-t_{i-1}$

Podemos calcular a área da partição $P_1$ da seguinte forma:

Por falta $A(falta) = m_1(t_1-t_0) + m_2(t_2-t_1) = \underline{S}(f;P_1)$ conhecido como soma inferior

Onde $m_1 = inf \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } m_2 = inf \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \}$

Por sobra $A(sobra) = M_1(t_1-t_0) + M_2(t_2-t_1) = \overline{S}(f;P_1)$ conhecido como soma superior

Onde $M_1 = sup \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } M_2 = sup \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \}$

Como $m_1 \le M_1 \mbox{ e } m_2 \le M_2$. Logo $\underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1)$

• (A3) Seja $m(b-a) = m(t_2-t_0) \mbox{. Tomando } t_1 \in [t_0, t_2] \mbox{, temos } m(t_2-t_1+t_1-t_0) =$

$= m(t_2-t_1)+m(t_1-t_0) \le m_2(t_2-t_1)+m_1(t_1-t_0) \Rightarrow \underline{S}(f;P_0) \le \underline{S}(f;P_1) \mbox{, pois } m \le m_1 \mbox{ e } m \le m_2$

• (A4) o fato que $\overline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_0)$ é análogo a (A3)
• (A2),(A3)e(A4) $\underline{S}(f;P_0) \le \underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_0)$.

Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até $| \overline{S}(f;P_\infty) - \underline{S}(f;P_\infty)| < \epsilon, onde \; P_\infty$ será para nós quando $\lim_{P_i \to P_\infty} |t_i-t_{i-1}| = 0$. Então encontraremos a área da figura.

Relações entre partição e subpartição

Lema 1 (refinando uma partição)

Sejam $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ limitada e as partições $P_{k-1} \mbox{, Q cujo } Q = P_{k-1} \cup \{c\}$

$\underline{S}(f;P_{k-1}) \le \underline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P_{k-1})$.

Demonstração

Sejam $P_{k-1} = \{ t_0, t_1, ..., t_{l-1}, t_l, t_{l+1}, ... t_{k-1}, t_k \} \mbox{ e } Q = P_{k-1} \cup \{ c \} \mbox{ onde } c \in [t_{l-1},t_l]$

• $\underline{S}(f;P_{k-1}) = \sum_{i=1}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m_l(t_l-t_{l-1}) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1})$
• $\underline{S}(f;Q) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m'(c-t_{l-1}) + m''(t_l-c) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1})$
  • Onde $m' = inf \{ f(x); x \in [t_{l-1},c] \} \mbox{ e } m'' = inf \{ f(x); x \in [c,t_i] \}$
• É verdade que $m_l(t_l-t_{l-1}) = m_l(t_l-c+c-t_{l-1}) = m_l(t_l-c)+ m_l(c-t_{l-1})\mbox{ como } m_l \le m' \mbox{ e } m_l \le m''$. Então $\underline{S}(f;P_{k-1}) \le \underline{S}(f;Q)$
• De forma análoga se demonstra que $\overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P_{k-1})$

Teorema 1

Sejam $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta

Demonstração

Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.

Corolário

Sejam $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ limitada, e as partições P e Q, onde $\underline{S}(f;P) \le \overline{S}(f;Q)$.

Demonstração

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos $\underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \mbox{ e }\overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P)$. Como $\underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \Rightarrow \underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P)$.

Integral inferior e integral superior

Seja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \mbox{ limitada e } P^*$ todas as partições de [a,b]

• $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)\, dx = \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*)$ é a integral inferior de f
• $\overline {\int}_{a}^{b} f(x)\, dx = \mbox{ inf }\overline{S}(f;P^*)$ é a integral superior de f

Pelo Lema 1 $\underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ inf }\overline{S}(f;P^*) \le \overline{S}(f;P^*)$.

Logo $\underline{S}(f;P^*) \le \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline{S}(f;P^*)$.

Lema 2 (soma conservada no refinamento)

Seja $c \in ]a,b[$ e $Q^*$ são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim $Q^* = P^* \cup \{c\}$, então $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx, \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$ são únicos.

Demonstração

• Em particular $Q \subset Q^*$, ou seja, tomemos uma partição que contém {c}

Seja $P = Q \setminus {c}$; onde $P \subset P^*$.

Pelo Lema 1 $\underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P)$.

• olhemos para o fato que A' = {conta inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {conta inferior de P} e B = {cota superior de P}

$A \subset A' \Rightarrow se \; a \in A \; e \; a' \in A', logo \; a \le a'$

sup A = sup A', pois $c \in ]a,b[$

$B \subset B' \Rightarrow se \; b \in B \; e \; b' \in B', logo \; b \le b'$

inf B = inf B', pois $c \in ]a,b[$

• $\mbox{ sup }\underline{S}(f;P) = \mbox{ sup }\underline{S}(f;Q) \le \mbox{ inf }\overline{S}(f;Q) = \mbox{ inf }\overline{S}(f;P)$.

Lema 3

Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)

• (a) Se $A = \{a \in A \}, B = \{ b \in B\}$, então $A+B = \{a+b; a\in A, B \in B\}$
• (b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

Demonstração

• Dado $a \in A, b \in B, temos \; a \ge inf A, b \ge inf B \Rightarrow a+b \ge inf A + inf B$.

Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,

• • Dado $\epsilon > 0, \exist a' \in A, b' \in B; a' < inf A + {\epsilon \over 2}, b' < inf B + {\epsilon \over 2} \Rightarrow a'+b' < inf A + inf B + \epsilon$

portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B

• o sup se mostra analogamente

Corolário

Sejam $f,g:[a,b]\mapsto\mathbb{R}$ limitadas. Então

• (a) $sup(f+g) \le sup(f) + sup(g)$
• (b) $inf(f+g) \ge inf(f) + inf(g)$

Demonstração

Se $A = f([a,b]), \; B = g([a,b])$, então $C = \{ f(x) + g(x) ; x \in [a,b] \} \subset A + B$

pelo teorema $inf(A+B) \le inf(C) \le sup(C) \le sup(A+B)$ e pelo lema 3 temos

(a) $sup(f+g) = sup(C) \le sup (A + B) = sup(A) + sup(B) = sup(f) + sup(g)$

(b) $inf(f+g) = inf(C) \ge inf (A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g)$

Teorema 2

Sejam $c \in [a,b], f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}$ limitada, então

• (a)$\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$
• (b)$\overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \overline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \overline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$

Demonstração

• (a)Sejam $A = \{ \underline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \}$
  • $A + B = \{ \underline{S}(f/[a,c],P)+\underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \underline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \}$
    • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
      • $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = sup(A+B) = sup(A) + sup (B) = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$
• (b)Sejam $A = \{ \overline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \}$
  • $A + B = \{ \overline{S}(f/[a,c],P)+\overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \overline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \}$
    • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
      • $\overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = inf(A+B) = inf(A) + inf (B) = \overline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \overline {\int}_{c}^{b} f(x)dx$

Lema 4

Seja $A' \subset \mathbb{R}$ e $A = \{x \in A'; M \le x \le N \}; A \cap [M,N] \ne \empty$; Dado $c \in \mathbb{R}$ temos:

• (a)Se c> 0, então $c \cdot A = \{ c.x \in A'; c\cdot M \le c\cdot x \le c\cdot N \}$
  • Assim: $sup(c \cdot A) = c\cdot sup(A) \; e \; inf(c \cdot A) = c\cdot inf(A)$
• (b)Se c< 0, então $c \cdot A = \{ c.x \in A'; c\cdot M \ge c\cdot x \ge c\cdot N \}$
  • Assim: $sup(c \cdot A) = c\cdot inf(A) \; e \; inf(c \cdot A) = c\cdot sup(A)$

Demonstração

• (a)$sup(c \cdot A) = c \cdot N = c\cdot sup(A)$

$inf(c \cdot A) = c\cdot M = c\cdot inf(A)$

• (b)$sup(c \cdot A) = c \cdot M = c\cdot inf(A)$

$inf(c \cdot A) = c\cdot N = c\cdot sup(A)$

Teorema 3

Sejam $f,g:[a,b] \mapsto$

• (a) $\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx + \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} [f(x)+g(x)]dx \le \overline {\int}_{a}^{b} [f(x)+g(x)]dx \le \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx + \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx$
• (b)
  • c>0
    • $\underline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
    • $\overline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
  • c<0
    • $\underline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
    • $\overline {\int}_{a}^{b} c\cdot f(x)dx = c \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx$
• (c) $Se f(x) < g(x) \forall~ x \in [a,b]$, então
  • \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
  • \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx

Funções integráveis

Seja $f:[a,b] \mapsto \mathbb{R}$

Teorema fundamental do cálculo

Análise real/Teorema fundamental do cálculo

Integral de Darboux

Análise real/Integral de Darboux

Integração generalizada

Análise real/Integração generalizada

Secção 6 Exercícios

Análise real/Secção 6 Exercícios

Seqüência de funções

Nesta seção, introduzimos um importante conceito da análise real, a idéia de seqüência de funções. Uma seqüência de funções em um domínio $D\,$ é definida com um conjunto $\{f_i\}\,$ de funções $f_i:D\to\mathbb{R}\,$ indexadas um índice $i\,$. São exemplos de seqüência de funções definidas em toda a reta ($D=\mathbb{R}\,$):

• $f_i(x) = ix^2\,$
• $f_i(x) = \frac{i}{i+x^2}~~, i\geq 1\,$
• $f_i(x) = \frac{x}{i}~~, i\geq 1\,$

O leitor deve observar que para cada ponto fixo no domínio $x_0\,$, uma seqüência de funções define um seqüência numérica:

$f_i(x_0)\,$ define uma seqüência numérica para cada $x_0\,$ fixo.

Seqüência eqüilimitada

Uma seqüência de funções $\{f_i\}_{i=1}^{\infty}\,$ é dita eqüilimitada num conjunto $E\,$ se cada uma das funções está definida em $E\,$ e se existe uma constande $M\,$ tal que:

• $|f_i(x)|\leq M,~~ \forall x\in E ~~ \forall i\geq 1\,$

Convergência pontual

O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual, também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.

Definição

Seja $D\in\mathbb{R}$ um conjunto e $f_n:D\to\mathbb{R}\,$ uma seqüência de funções reais definidas no domínio $D\,$.

Diz que $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ converge quando existe uma função $f:D\to\mathbb{R}\,$ tal que para cada ponto $x\in D\,$ a seqüência numérica $f_n(x)\,$ converge para $f(x)\,$. Ou, na notação de limites:

• $\lim_{n\to\infty}f_n(x) = f(x), ~~ \forall x\in D \,$

Equivalentemente, diz-se que $\{f_n\}\,$ converge para $f\,$ em $D\,$ se para todo $\varepsilon>0\,$ e todo $x\in D\,$ existe um $N\,$ tal que

• $\left|f_n(x)-f(x) \right|<\varepsilon,~~\forall n\geq N\,$

Exemplos

Exemplo 1

Seja a seguinte seqüência de funções:

• $f_n(x)= \frac{x}{n}, ~x\in\mathbb{R}, ~~ n=1,2,3,\ldots\,$

É fácil ver que:

• $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$

Exemplo 2

Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:

• $f_n(x)= \frac{1}{1+|x|^n}, ~x\in\mathbb{R}, ~~ n=1,2,3,\ldots\,$

cujo limite é dado por:

• $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1,&|x|<1\\ 1/2,&|x|=1\\ 0,&|x|>1 \end{array} \right.$

Exemplo 3

Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:

• $f_{n}(x)= \cos^{2n}(m!\pi x) ~x\in\mathbb{R}, ~~ n=1,2,3,\ldots\,$

cujo limite é dado por:

• $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1,&m! x \in \mathbb{Z}\\ 0,&\hbox{c.c.} \end{array} \right.$

Exemplo 4

Veja mais um exemplo peculiar de convergência:

• $f_n(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 0, x<n\\ 1,x\geq n \end{array} \right.$

Convergência uniforme

A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.

Definição

Uma seqüência de funções $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\,$ definida em um conjunto $D\,$ é dita convergir uniformemente se existe uma função $f:D\to\mathbb{R}\,$ tal que:

Para todo $\varepsilon>0\,$, existe um $N\,$ tal que:
$\left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, \forall x\in D~~\forall n\geq N\,$

Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.

Comparação entre convergência uniforme e convergência pontual

Como comparação, uma sequência de funções $f_n(x): S \rightarrow \R\,$ converge pontualmente para uma função $f: S \rightarrow \R\,$ se, e somente se:

$\forall \epsilon > 0, \ \forall x \in S \ \exists N \in \mathbb{N} \ t.q. \ \forall n > N \ \Rightarrow \ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\,$

A sequência converge uniformemente quando:

$\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall x \in S \ t.q. \ \forall n > N \ \Rightarrow \ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\,$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $\epsilon\,$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $\epsilon\,$ um N que se aplica a todo x.

Exemplos

Exemplo 1

Considere a seqüência:

$f_n(x)= \frac{1}{n}\,$

A convergência uniforme é válida com $N> \frac{1}{\varepsilon}\,$.

Exemplo em que a convergência uniforme falha na presença de convergência pontual

Considere o conjunto $D:=\{x\in\mathbb{R}:x>0\,$ e a seguinte seqüência de funções definidas em $D\,$:

• $f_n(x)=\frac{1}{nx}\,$

Observa-se que para cada $x\,$ fixo $f_n(x)\,$ converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada $\varepsilon$ existe um x suficiente próximo à origem tal que:

• $|f_n(x)-0|\geq \varepsilon \,$

Convergência uniforme preserva continuidade

Teorema Seja $f_n(x)\,$ uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto $D\in\mathbb{R}\,$. Suponha que $f_n\,$ converge uniformemente para uma função $f(x)\,$ então f é uma função contínua.

Demonstração Seja $\varepsilon>0\,$ e $x_0\in D\,$, devemos mostrar que existe um $\delta>0\,$ tal que:

• $|x_0-x|<\delta \Longrightarrow \left|f(x_0)-f(x)\right|\leq \varepsilon$

Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que

• $\left|f_n(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon/3, n\geq N\quad (1)$

Da continuidade de $f_N\,$, temos que existe um $\delta>0\,$ tal que:

• $|x_0-x|<\delta \Longrightarrow \left|f_N(x_0)-f_N(x)\right|\leq \varepsilon/3\quad (2)$

Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:

• $\Longrightarrow \left|f(x_0)-f(x)\right|\leq \left|f(x_0)-f_N(x_0)\right|+\left|f_N(x_0)-f_N(x)\right|+\left|f_N(x)-f(x)\right|$

E das desigualdades $(1)\,$ e $(2)\,$, vale que se $|x_0-x|<\delta\,$:

• $\left|f(x_0)-f(x)\right|\leq \varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon$

Convergência uniforme e a integração

Teorema Seja $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}\,$ uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função $f:[a,b]\to\mathbb{R}\,$, então $f\,$ é integrável a Riemann e vale a igualdade:

• $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx = \int_a^b f(x)dx\,$

Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo $\varepsilon>0\,$, exite um $N\,$ tal que:

$f_n(x)-\varepsilon \leq f(x) \leq f_n(x)+\varepsilon,~~\forall n\geq N\,$

Como $f_n\,$ é integrável, vale que:

$\overline{\int_a^b}f_n(x)dx=\underline{\int_a^b}f_n(x)dx=\int_a^bf(x)dx$

Assim, valem as desigualdades:

$\overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}\left(f_n(x)+\varepsilon\right)dx=\int_a^bf_n(x)dx + (b-a)\varepsilon$

$\underline{\int_a^b}f(x)dx\geq \underline{\int_a^b}\left(f_n(x)-\varepsilon\right)dx=\int_a^bf_n(x)dx - (b-a)\varepsilon$

E, portanto:

$\overline{\int_a^b}f(x)dx-(b-a)\varepsilon\leq\int_a^b f_n(x)dx\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx + (b-a)\varepsilon$

Tomando o limite $n\to\infty\,$, temos:

$\overline{\int_a^b}f(x)dx-(b-a)\varepsilon\leq\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx + (b-a)\varepsilon$

Como $\varepsilon>0\,$ é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:

$\overline{\int_a^b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx= \underline{\int_a^b}f(x)dx$

E o resultado segue.

Séries de funções

Análise real/Séries de funções

Teorema de Taylor e série de potências

Análise real/Teorema de Taylor e série de potências

Secção 7 Exercícios

Problema 1

Considere a seguinte seqüência de funções $f_n:\mathbb{R}^*_+\to\mathbb{R}\,$ dada pela relação de recorrência:

$\begin{array}{l} f_1(x)=x\\ f_n(x)= \frac{1}{2}\left[f(x)+\frac{x}{f(x)}\right]\, \end{array}$

Mostre que:

• $f_n(x)\to \sqrt{x}$ pontualmente
• $f_n(x)\to \sqrt{x}$ uniformemente em cada intervalo $[a,b]\,$ contanto que $0<a<b\,$.
• a convergência não é uniforme em nenhum intervalo do tipo $(0,a)\,$ nem do tipo $(a,\infty)\,$ com $a>0\,$.

Problema 2

Considere a seqüência de funções indexada pelos índices $n\,$ e $m\,$:

• $f_{mn}(x)= \cos^{2n}(m!\pi x) ~x\in\mathbb{R}, ~~ n=1,2,3,\ldots\,$

Mostre que:

• $\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} f_{mn}(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1,&x \in \mathbb{Q}\\ 0,&\hbox{c.c.} \end{array} \right.$

Problema 3

Considere a seqüência de funções $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}\,$ definidas por:

• $f_n=\left\{ \begin{array}{ll} n^2x,&x\in [0,1/n]\\ 2n- n^2 x,&x\in (1/n,2/n)\\ 0,&x\in [2/n,1] \end{array} \right.$

Mostre que

• $\lim_{n\to\infty} f_n(x) =0\,$

não obstante

• $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^1 f_n(x)dx =1/2\,$

Problema 4

Defina $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,$ como:

• $f_n=\left\{ \begin{array}{ll} 1/n,&x\in |x|<n\\ 0,&x\in |x|\geq n\\ \end{array} \right.$

Mostre que

• $\lim_{n\to\infty} f_n(x) =0\,$ uniformemente

não obstante

• $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^1 f_n(x)dx =2\,$

Problema 5

Seja a seqüência de funções $f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R}\,$ dada por:

• $f_n(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \left(1-\frac{x}{n}\right)^n,& x\in [0,n]\\ 0, &x\in (n,\infty) \end{array} \right.$

Mostre que:

• $0\leq f_n(x) \leq e^{-x}\,$
• $f_n(x) \to e^{-x}\,$ uniformemente em $[0,M]\,$ para cada $M>0\,$

Conclua, provando que:

• $\lim_{n\to\infty}\int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n = 1\,$

Problema 6

Construa uma seqüência de funções contínuas em $[0,1]\,$ convergindo pontualmente para um função que não é integrável à Riemann.

Construindo os números reais

Análise real/Construindo os números reais

Unicidade dos números reais

Existem várias maneira de construir o conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.

Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.

Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.

Definição (isomorfismo entre corpos ordenados)

Dizemos que $\phi:\mathbb{F} \to \mathbb{K}$ é um isomorfismo entre corpos ordenados se:

1. $\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b), \forall a,b \in \mathbb{F}$;
2. $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b), \forall a,b \in \mathbb{F}$;
3. $\forall a,b \in \mathbb{F}$, com $a < b \Rightarrow \phi(a) < \phi(b)$;
4. $\phi(a) = \phi(b) \Rightarrow a = b$, isto é, $\phi$ é injetiva;
5. $\forall y \in \mathbb{K}, \exists x \in \mathbb{F} | y = \phi(x)$, ou seja, é sobrejetiva.

Proposição

Se $\mathbb{F}, \mathbb{K}$ são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.

Demonstração

A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.

A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função $\phi$ entre os corpos $\mathbb{F}$ e $\mathbb{K}$ e então provar que essa função é um isomorfismo.

Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que $\mathbb{F}, \mathbb{K}$ são corpos, então existe $0, 1 \in \mathbb{F}$ e $0', 1' \in \mathbb{K}$, nada mais natural que definirmos:

Seja $f:\mathbb{Q} \subset \mathbb{F} \to \mathbb{K}$ definida da seguinte maneira: $f(0) = 0'$

$f(1) = 1'$

E por indução, para cada $n \geq 1$, temos:

$f(n) = f(n-1) + 1'$

$f(-n) = -f(n)$

Se $n \not= 0$, então sabemos que $\exists f(n)^{-1} \in \mathbb{K}$, pois como $n \not= 0$, então $f(n) \not= 0'$.

Portanto podemos definir:

$f(m/n) = f(m)f(n)^{-1}$.

Desta forma a função $f$ mapeia $\mathbb{Q} \subset \mathbb{F}$ em $\mathbb{Q}' := f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{K}$.

Vamos mostrar que $f$ é um isomorfismo de corpos ordenados de $\mathbb{Q}$ em $\mathbb{Q}'.$

• $f$ preserva a soma:

Por definição, temos $f(n + 1) = f(n) + 1' = f(n) + f(1)$, para todo n natural.

Suponha que $f(n + m) = f(n) + f(m)$, para todo $m$ tal que $1 \leq m < k$.

$f(n + (k - 1)) + f(1) = f(n) + f(k - 1) + f(1) = f(n) + f(k)$, pela hipótese de indução.

• $f$ preserva o produto:

• $f$ preserva a ordem:

• $f$ é injetora:

• $f$ é sobrejetora;

Seja $\phi:\mathbb{F} \to \mathbb{K}$ definida da seguinte maneira:

Para cada $a \in \mathbb{F}$, sejam, $X_a = \{x \leq a; x \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{F}\}$. Como $X_a \not = \emptyset$, podemos definir $\phi(a) = \sup \{f(x); x \in X_a\}.$

Agora vamos provar que $\phi$ é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.

• $\phi$ preserva a soma:

• $\phi$ preserva o produto:

• $\phi$ preserva a ordem:

• $\phi$ é injetora:

• $\phi$ é sobrejetora;

Dado $y \in \mathbb{F}, y = sup\{q' \in \mathbb{Q}'; q < y\}.$

Equivalências entre corpos ordenados arquimedianos

Definição (partição)

$(A_1,A_2,...,A_n)$ é partição de $\Omega$ se, $\Omega = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} A_i$ e $A_i \cap A_j = \emptyset$, se $i \not= j$.

Definição (Seqüências de Cauchy)

Uma seqüência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ em $\mathbb{K}$ é dita de Cauchy se, dado $\epsilon > 0,\ \exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que, se $n,m > n_0$ então $|x_n - x_m| < \epsilon$.

Definição (conjunto fechado em $\mathbb{K}$)

Um conjunto $F \subset \mathbb{K}$ é dito fechado se o limite de toda sequência de pontos de $F$ é ponto de F.

Definição (conjunto conexo)

$\mathbb{K}$ é dito conexo se $\mathbb{K}$ e $\emptyset$ são os únicos subconjuntos abertos e fechados de$\mathbb{K}$

Teorema

Seja $\mathbb{K}$ um corpo ordenado arquimediano. Em $\mathbb{K}$ são equivalentes:

1[1'] Toda seqüência crescente [decrescente] limitada superiormente [inferiormente] de $\mathbb{K}$ é convergente;

2[2']) Todo subconjunto $A \subset \mathbb{K}$ não-vazio limitado superiormente [inferiormente] tem supremo [ínfimo];

3[3']) Seja $F \subset \mathbb{K}$ um conjunto fechado limitado superiormente [inferiormente], então, $F$ tem máximo e mínimo;

4)$\mathbb{K}$ é conexo.

5) (Postulado de Dedekind) Dada uma partição $(A,B)$ de$\mathbb{K}$, com $a < b$, para todo $a \in A$, e $b \in B$, isto é $(A,B)$ é um corte de Dedekind, então, em $A$ existe maior elemento, ou, em $B$, existe menor elemento.

6) (Propriedade dos intervalos encaixantes) Toda seqüência de intervalos encaixantes, fechados e limitados tem intersecção não-vazia. Isto é, seja $([a_n,b_n])_{n\in\mathbb{N}}$ uma seqüência de intervalos, satisfazendo $[a_{n+2},b_{n+2}] \subset [a_{n+1},b_{n+1}] \subset [a_n,b_n] \subset ... \subset [a_1,b_1] \subset [a_0,b_0]$, para todo $n \in \mathbb{N}$, então $\displaystyle \bigcap_{n\in\mathbb{N}} [a_n,b_n] \not= \emptyset$.

7)$\mathbb{K}$ é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em $\mathbb{K}$ de Cauchy então (x_n) é convergente.

Demonstração

As equivalências $N \Leftrightarrow N'$ são evidentes e serão deixadas como exercício.

1) $\Rightarrow$ 2)

Seja A nas condições de 2), vamos mostrar que A tem supremo.

Como A $\not= \emptyset$, podemos pegar $a_0 \in A$e como A é limitado superiormente, existe $b_0 \in \mathbb{K}$majorante de A.

Seja $c_1 = (a_0 + b_0)/2$, se $c_1$for majorante de A, então definimos $b_1 = c_1$, e $a_1 = a_0$ e caso $c_0$ não seja majorante de A, definimos $a_1 = c_1$ e $b_1 = b_0$.

Suponha que $a_{k-1}$ e $b_{k-1}$ estejam definidas, $c_k = (a_{k-1} + b_{k-1})/2$, se $c_k$ for majorante de A, então definimos $b_k = c_k$, e $a_k = a_{k-1}$ e caso $c_k$ não seja majorante de A, definimos $a_k = c_k$ e $b_k = b_{k-1}$.

Definimos duas seqüências $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente $a_0$ é um limitante inferior de $(b_n)$ e $b_0$ é um limitante superior de $(a_n)$, e por '1), concluimos que ambas seqüências são convergentes.

Sejam $a = \lim a_n$ e $b = \lim b_n$.

Suponha, por absurdo que $a > b$, então $a - b > 0$, tomando $\epsilon = a - b$, como $(a_n) \rightarrow$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $a - \epsilon < a_{n_0} < a + \epsilon \Rightarrow a - (a - b) < a_{n_0} < a + (a - b) \Rightarrow b < a_{n_0}$. Portanto $b - a_{n_0} > 0$, como $(b_n) \rightarrow b$, definindo $\epsilon' = b - a_{n_0}$, existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que, $b - \epsilon < b_{n_1} < b + \epsilon \Rightarrow b - (b - a_{n_0}) < b_{n_1} < b + (b - a_{n_0}) \Rightarrow a_{n_0} < b_{n_1}$. Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de $(a_n)$ e $(b_n)$.

Por construção, temos $a_n \leq a \leq b \leq b_n$ para todo $n$ natural.

Bibliografia

Bibliografia

• Livro-textos
  • Lima, Elon Lages. Curso de Análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1989. v. 1.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. New York: McGraw-Hill Inc., 1976. v. 1.
  • Hönig, Chaim Samuel. Aplicações da Topologia à Análise. Brasil: IMPA, 1976.
  • Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
• Livro-virtuais
  • em inglês
    • Real analysis: Wikilivro sobre Análise real e sua bibliografia;(1)
    • Real analysis: Conceitos de análise real na Wikipédia;
    • Introduction to Analysis: Wikilivro sobre Introdução a Análise real a respeito da topologia; (2)
    • Topology: Wikilivro sobre Topologia;
    • Analysis, Course C9
    • Integral de Riemann
  • em português
    • Análise real: Conceitos de Análise real na Wikipédia;
    • Topologia: Wikilivro sobre Topologia;
    • Análise I - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação.
    • Análise II - Notas de aula de um curso de análise ministrado no Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação.
    • Análise III - Notas de aula de um curso de análise ministrado na Universidad Nacional Autônoma de México.

Recursos Iniciais

• Ajuda:Página principal: Tutorial principal do Wikipédia;
  • Fórmulas TeX: Página da Wikipédia sobre fórmulas matemáticas;
  • Ajuda:Marcação TeX: Página do Wikilivros sobre fórmulas matemáticas;
  • Help:Displaying a formula: Página do Meta sobre fórmulas matemáticas;
  • Help:Displaying a formula: Página da wikipédia sobre fórmulas matemáticas;
• Ajuda:Como iniciar uma página: Tutorial do wikilivros;
• Lista de cores use <font color = cor> palavra </font>

Tradutores automáticos

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• Dicionário Michaelis - 6 Idiomas

Disposições finais

Este wikilivro está sendo feito em maior parte pela tradução dos livros-virtuais:(1),(2); e procurando não estar muito longe dos conceitos apresentados pelos livro-textos usados nas melhores universidades