Álgebra linear/Produto interno

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Em Álgebra linear, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.

Tabela de conteúdo

1 Definição
- 1.1 Exemplos
2 Vetores ortogonais
3 Complemento ortogonal
4 Norma
5 Projeção ortogonal
- 5.1 Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, em que u ≠ 0
- 5.2 Projeção de um vetor v sobre um subespaço vetorial W de V
6 Desigualdade de Cauchy-Schwarz
7 Desigualdade triangular
8 Base ortogonal e ortonormal
9 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
10 Distância entre dois vetores
11 Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V

[editar] Definição

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Em V, pode-se definir a função binária $\langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K$ (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

$\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle }$

$\langle u+v, w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle$

$\langle \lambda u, v\rangle = \lambda \langle u, v\rangle$

Se $v \ne 0$ , então $\langle v, v\rangle$ >

0

em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.

A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:

$\langle u, v+w\rangle = \langle u, v\rangle + \langle u, w\rangle$

$\langle u, \lambda v\rangle = \overline{\lambda}\langle u,v\rangle$

Se

v = 0

, então $\langle v, v\rangle = 0$

Se $\langle v, v\rangle = 0$ , então

v = 0

[editar] Exemplos

O produto escalar sobre o espaço vetorial $\mathbb{R}^3$ satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

$\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Se f e g são duas funções, é possível definir o produto interno:

$\langle f, g \rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\,dx$

[editar] Vetores ortogonais

Diz-se que dois vetores $u, v \in V$ são ortogonais se $\langle u, v\rangle = 0$ .

Consequências (prove!):

Se $\langle u, v\rangle = 0, \forall v \in V$ , então

u = 0

Se $\langle T(u), v\rangle = 0, \forall u,v \in V$ , então

T = 0

[editar] Complemento ortogonal

Seja $v \in V, v \ne 0$

Define-se o complemento ortogonal de v, $v^\perp$ , como:

$v^\perp = \{ v \}^\perp = \{ u \in V | \langle u, v \rangle = 0 \}.$

Consequências (prove!):

$v^\perp$ é um subespaço vetorial de V

Seja

W

um subespaço vetorial de V, e $\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ uma base de

W

. $v \in W^\perp \iff v \in v_i^\perp, i = 1, \ldots, n$

$(W^\perp)^\perp = W$ , W é subespaço de V.

[editar] Norma

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor $v \in V$ como sendo o número $\sqrt{\langle v, v \rangle}$ , que indicamos por $| v |$ .