Álgebra linear/Transformações lineares

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Tabela de conteúdo

[editar] Transformações Lineares

[editar] Definição

Definição

Uma função T : V \to W, onde V e W são espaços vetoriais sobre um corpo K, é dita uma transformação linear se, para todos u, v \in V e para todo \lambda \in K, tem-se

T(u + v) = T(u) + T(v)
T(\lambda u) = \lambda \, T(u)

[editar] Núcleo

[editar] Definição

Definição

Seja T: V \to W\, uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:

Ker(T) = \{ v \in V | T(v) = 0 \} \,

Teorema O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio

A demonstração é simples:

  • Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
  • Se v, w \in Ker(T)\,, então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e v + w \in Ker(T)\,
  • Se \lambda \in K\, e v \in Ker(T)\,, temos T(v) = 0\, logo T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,, ou seja, \lambda v \in Ker(T)\,


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[editar] Funcionais Lineares

[editar] Definição

Definição

Uma função f: V \rightarrow K , onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, \forall u, v \in V e \forall \lambda \in K:

f(u + v) = f(u) + f(v)
f(λv) = λf(v)


Teorema  (existência e unicidade)

Se V é um espaço vetorial de dimensão n e \alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \} é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K


Teorema  (base dual)

Se V é um espaço vetorial, dimV = n e \beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} é uma base de V, então existe uma única base \beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\} de V * tal que fi(vj) = δij

Definição

β * é chamada de base dual de β
V * é chamado de espaço dual de V

Corolários:

f = \sum f(v_i)f_i
v = \sum f_i(v)v_i

[editar] Teoremas

Teorema  (representação dos funcionais lineares)

Sejam V um espaço vetorial sobre K, dimV = n, com produto interno, e f: V \rightarrow K um funcional linear. Então existe um único vetor v_o \in V, tal que f(v) = \langle v, v_o \rangle, \forall v \in V.

Demonstra-se ainda que v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i

[editar] Adjunto de um operador linear

[editar] Definição

Definição

Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, T^* : V \rightarrow V , de um determinado operador linear T : V \rightarrow V é definido pela igualdade:

\langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V

Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):

(S + T) * = S * + T *
(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*
(S \circ T)^* = T^* \circ S^*
Proposição

Seja V um espaço vetorial sobre K, dimV = n, com produto interno. Seja \alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} uma base ortonormal de V. Então [T]α = (aij), onde a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle


Corolário

Seja V um espaço vetorial sobre K, dimV = n, com produto interno. Então, para qualquer base \alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} ortonormal de V, temos que a matriz [T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.

[editar] Operadores especiais

  • Auto-adjunto (T * = T)
  • Unitário (T * = T - 1)
  • Normal (T * T = TT * )

[editar] Operador auto-adjunto

Definição

T: V \rightarrow V é chamado de auto-adjunto se T * = T.

Uma matriz A é auto-adjunta se \overline{A}^t = A.

  • Se K = R, [T]α é chamada simétrica.
  • Se K = C, [T]α é chamada hermitiana.

Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:

Se \langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V, então T = 0.
Se V é complexo e \langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V, então T = 0.

Prove:

  • Se T * = T e \langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V, então T = 0.
  • Seja T: V \rightarrow V, com V complexo. Então T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R.

[editar] Operador unitário

Definição

T: V \rightarrow V é chamado de unitário se T * = T − 1.

Uma matriz A é unitária se {\overline{A}}^t = A^{-1}


Prove:

  • T é unitário \iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle (T preserva o produto interno)
  • T é unitário \iff |T(u)| = |u| (T preserva a norma)
  • T é unitário \iff T^{-1} é unitário

[editar] Operador normal

Definição

T: V \rightarrow V é chamado de normal se TT * = T * T.

Uma matriz A é normal se AA * = A * A

Prove:

  • Todo operador auto-adjunto é normal
  • Todo operador unitário é normal

É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

[editar] Subespaço invariante

[editar] Definição

Definição

W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador T: V \rightarrow V, se T(W) \subset W.

Dizemos também que W é T-invariante.

[editar] Exercícios

Prove:

  • Se W é T-invariante, então W^\perp é T * -invariante.
  • Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é T * -invariante.
  • Se W é T-invariante e T é inversível, então T(W) = W.
  • Se W é T-invariante e T é inversível, então W é T - 1-invariante e T − 1(W) = W.
  • Se W é T-invariante e T é unitário, então W é T - 1-invariante (ou T * -invariante).
  • Se W é T-invariante e T é unitário, então W^\perp é T-invariante.

[editar] Ver também

[editar] Wikipédia

Obtido em "http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Transforma%C3%A7%C3%B5es_lineares"
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