Álgebra linear/Espaços vetoriais

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Ir para: navegação, pesquisa
Nuvola apps edu miscellaneous.png A distribuição do conteúdo deste livro está confusa ou pouco didática (discuta).
Pede-se aos editores que reavaliem a distribuição do mesmo.
Nuvola apps edu mathematics-p.svg

Esta página é um esboço de matemática. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço vetorial é formado por:

  1. Um conjunto V, cujos elementos serão chamados de vetores;
  2. Um corpo K, cujos elementos serão denominados escalares;
  3. Uma operação +:V \times V \to V, conhecida como adição de vetores;
  4. Uma operação *:K \times V \to V, chamada de multiplicação por escalar.

Neste wikilivro, será escrito simplesmente \alpha v para denotar \alpha * v.

Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

Definição

Dizemos que V é um espaço vetorial sobre K quando as operações + e * satisfazem as seguintes propriedades:

Adição
  1. Para cada u, v \in V, u+v\ =\ v+u (comutatividade)
  2. Para cada u, v, w \in V, (u+v)+w\ =\ u+(v+w) (associatividade)
  3. Existe um vetor 0, tal que para cada u\in V, 0+u\ =\ u (neutro aditivo)
  4. Para cada u \in V, existe -u \in V tal que u+(-u)\ =\ 0 (inverso aditivo)
Multiplicação por escalar
  1. Para cada \alpha \in K e cada u, v \in V, \alpha (u+v)\ =\ \alpha u+\alpha v (distributividade)
  2. Para cada \alpha, \beta \in K e cada u \in V, ( \alpha + \beta ) u\ =\ \alpha u + \beta u (distributividade)
  3. Para cada \alpha, \beta \in K e cada u \in V, ( \alpha \beta ) u\ =\ \alpha (\beta u) (associatividade)
  4. Para cada u \in V, 1u\ =\ u (neutro multiplicativo)

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • \mathbb{R}^2\, e \mathbb{R}^3\, são espaços vetoriais reais (ou seja, sobre o corpo \mathbb{R}\,).
  • O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}\,.
  • \mathbb{R}\, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}\,.
  • Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kn.
  • Seja \mathbb{N}^{*}\, o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio \mathbb{N}^{*}\, e contradomínio \mathbb{R}\,. Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir
(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)
(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).

Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.

  • O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto KI, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para f, g \in K^I\,, \lambda \in K\,:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)\,
(\lambda f)(x) = \lambda f(x)\,

Subespaços vetoriais[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Um subespaço vetorial de V é um subconjunto W que também é um espaço vetorial sobre K, com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de V.

Equivalentemente, um subespaço vetorial de V é um subconjunto não-vazio W fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que

  1. Para todos u, v \in W tem-se u+v \in W;
  2. Para qualquer escalar \lambda \in K e para todo u \in W tem-se \lambda u \in W.


Combinação linear[editar | editar código-fonte]

Definições[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um vetor u \in V é dito combinação linear dos vetores v_1, \ldots, v_n \in V se existem escalares \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K tais que

\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

Definição

Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor u \in V é dito uma combinação linear de elementos de S quando u = 0 ou existem:

um número inteiro positivo n, n \in \mathbb{N}^{*}
vetores v_1, \ldots, v_n \in S e
escalares \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K
tais que
\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u

Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v1 = x e λ = 1, de forma que x = λ v1
  • Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou x = \lambda_1 v_1 + \ldots \lambda_n v_n\,. Então \lambda x = (\lambda \lambda_1) v_1 + \ldots (\lambda \lambda_n) v_n)\,.
  • Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
    • Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
    • No caso geral, x = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n\, e y = \mu_1 w_1 + \ldots + \mu_m w_m\,. Então definindo
      \eta_1 = \lambda_1, \ldots \eta_n = \lambda_n, \eta_{n+1} = \mu_1, \ldots \eta_{n+m} = \mu_m\, e
      u_1 = v_1, \ldots u_n = v_n, u_{n+1} = w_1, \ldots u_{n+m} = w_m\,, temos que
      x + y = \eta_1 u_1 + \ldots + \eta_{n+m} u_{n+m}\,
  • Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

Dependência e Independência linear[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja S um subconjunto de V. Dizemos que S é linearmente dependente se existem vetores distintos v_1, \ldots, v_n \in V e escalares \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K, não todos nulos, tais que

\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0
Ou seja, S é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo. Quando S não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de S que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que S é linearmente independente.


Quando temos um número finito de vetores v_1, \ldots, v_n, é comum dizer que os vetores v_1, \ldots, v_n são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto S = \{v_1, \ldots, v_n\} é linearmente dependente (ou independente).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
  • Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
  • Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
  • Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
  • Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
  • A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
  • A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
  • A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

Espaço gerado[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja S um subconjunto de um espaço vetorial V. O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de S é um subespaço W de V, e é dito o subespaço gerado por S. Quando S é um conjunto finito \{v_1, \ldots, v_n\}, dizemos que W é o subespaço gerado pelos vetores v_1, \ldots, v_n.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Crystal Clear app kaddressbook.png Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Elaborar e incluir uma imagem para ilustrar este conceito.
  • Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
  • Em \mathbb{R}^2\,, o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
  • Em \mathbb{R}^3\,, o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
  • Em \mathbb{R}^2\,, o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o \mathbb{R}^2\,
  • Em \mathbb{R}^3\,, o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

Definição através de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:

  • V é um subespaço vetorial de V que contém S
  • A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V

Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque V \in K\,) definido por:

  •  K = \{ W \subseteq V \ | \ (W \mbox{ subespaco vetorial de } V) \land S \subseteq W  \} \,

e seja \bar{S}\, definido por:

  • \bar{S} = \bigcap_{X \in K} X\,

Teorema[editar | editar código-fonte]

Nas condições definidas acima, \bar{S}\, é o subespaço vetorial gerado por S.

Bases[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja S um subconjunto de um espaço vetorial V. S é uma base do espaço vetorial V quando o subespaço de V gerado por S é o próprio V e S é um conjunto linearmente independente. Quando uma base S é um conjunto finito \{v_1, \ldots, v_n\} de n elementos, dizemos que V tem dimensão n.

Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor v \in V\, seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: v = \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n = \mu_1 w_1 + \ldots + \mu_m w_m\,. O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos ui e wj? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

Coordenadas[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe b \in B\,, então para todo vetor v \in V, se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante. Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par  (v, b) \in V \times B\, um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]